Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cédrix

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limite de suite ?

Bonjour,
soit la suite de premier terme U(0)=0,3 et telle que U(n+1) = 3 U(n) (1-U(n))  pour tout entier naturel n.
Cette suite converge-t-elle ?
En faisant une simulation sur tableur, on dirait qu'elle converge vers un nombre proche de 0,67 mais au 50 0000 ième terme le terme diffère déjà du précédent au troisième chiffre après la virgule, ce qui ne semble pas exclure une non convergence.
Impossible de faire un raisonnement par récurrence.
Merci de votre aide !
C.

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonsoir Cédrix !

Une simulation peut donner des idées, mais ne remplace pas un raisonnement.

On peut donc chercher les limites possibles, s'il y en a, et démontrer après.

Si la suite converge vers une limite l, alors l vérifie la relation de récurrence, ce qui donne une équation pour l ...

A toi de voir la suite, dans un 1er temps ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-03-2021 18:37:21)

Chlore au quinoa

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Re : limite de suite ?

Salut Cédrix !

Je me permets juste d'intervenir pour compléter ce que dis Bernard (salut Bernard ^^), parce que quand on ne sait pas trop comment aborder ce type de problème, ce n'est pas évident.
La méthode pour les suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ est toujours la même :
-trouver la monotonie de $f$ et trouver s'il en existe un un intervalle de $stabilité$ pour $f$
-En déduire la monotonie de $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$
-En déduire l'existence ou non d'une limite
-Si existence : cf. ce qu'a dit Bernard.
Bon courage !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (21-03-2021 19:10:32)

Roro

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,

J'apporte moi aussi mon grain de sel à cette question puisque la suite proposée est très connue : il s'agit d'un exemple de suite logistique dont le paramètre (le coefficient 3 ici) est fondamental dans la vitesse et la convergence (ou non) de cette suite.

Je te propose de jeter un coup d'oeil su ile web au sujet de cette suite (par exemple : ici). Le choix de 3 et d'essayer numériquement de voir ce qui se passe n'est sans doute pas anodin dans un exercice : la convergence est très lente dans ce cas (mais ça converge).

Roro.

Dernière modification par Roro (21-03-2021 22:59:55)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonjour à tous !

Merci Cédrix, on s'amuse beaucoup !

https://cjoint.com/doc/21_03/KCwilCubNV … -03-22.jpg

Cette image illustre le début de la convergence de la suite (u(n)) ... (je suis parti de 0.7, ce qui est pareil que de 0.3)

Je vais laisser les collègues Adam et Roro mettre des explications sur ce "carré" qui rétrécit vers la limite l = 2/3 ... au point d'intersection de f en vert et de la droite de renvoi en noir.

Car, désolé, mais je suis très pris cette semaine !

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (22-03-2021 09:44:13)

Cédrix

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Re : limite de suite ?

Bonjour et merci pour vos aides mais je n'ai toujours pas réussi à prouver que la suite converge vers 2/3 (limite possible en supposant qu'elle converge) car la suite n'est pas monotone et je ne peux donc utiliser la suggestion de Chlore au quinoa.
C.

Roro

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Re : limite de suite ?

Bonjour,

L'étude de cette suite, et la justification de sa convergence n'est pas simple...
Je te conseille de jeter un oeil à ça :
https://www.imo.universite-paris-saclay … queDP2.pdf
mais on dépasse le cadre collège-lycée.

Je ne suis pas convaincu qu'il y ait une preuve "élémentaire" et courte. Dans quel cadre as-tu eu cette question ?

Roro.

Dernière modification par Roro (22-03-2021 16:50:36)

Chlore au quinoa

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Re : limite de suite ?

Re !

Joli carré Bernard, Cédrix le comprends-tu ?
Et en effet vu que tu as posté ceci dans "Entraide Collège-Lycée", je m'attendais à voir un cas simple avec une suite monotone qui converge avec le théorème de convergence monotone.

Je n'avais pas lu attentivement, et Roro vient de me faire remarquer qu'il s'agit d'une suite logistique (et même du cas limite du cas le plus simple... et pourtant pas si simple). Cette suite illustre très bien la complexité que peut prendre une expression non linéaire, même très simple au premier abord. Elle est très utile pour modéliser des comportements d'évolution de population,  et cela diffère grandement selon la valeur de $p$ dans $u_{n+1}=pu_n(1-u_n)$
J'ai trouvé comment justifier la convergence dans le cas $p<2$ mais pour 3 je cherche encore un peu j'avoue que je bug même si je vois graphiquement pourquoi ça va marcher...

Dernière modification par Chlore au quinoa (22-03-2021 16:57:49)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonjour,

est-ce avec toi qu'on avait déjà vu une convergence "en escalier" ? Ici la convergence se fait "en spirale" ...
La figure est très grossie, et on voit que c'est serré, donc convergence sans doute (très) lente ...

J'ai fait la figure en partant de 0.7 = 1 - 0.3, comme la parabole d'équation y = f(x) = 3x (1 - x) a pour axe de symétrie x = ... 1/2, 0.3 et 0.7 sont symétriques par rapport à 0.5. Si on part de 0.3, le point B serait "très à gauche" sur cette figure, mais on serait amené au même point C. (?). ensuite on tourne. Et ça se resserre autour du point central ...

Dernière modification par Bernard-maths (22-03-2021 17:26:46)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonjour Adam,

Je pense qu'on peut (pas moi !) montrer que c'est contractant, càdire que pour un intervalle donné [u(n),u(n+1)] (dans l cas où c'est dans le bon ordre), alors f(de cet intervalle) est strictement contenu dans celui de départ ...

Après il peut y avoir une histoire de Cauchy ... pour conclure !?

Je vous laisse la suite , j'ai des trucs à préparer !!!

Cordialement, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (22-03-2021 17:34:08)

Chlore au quinoa

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Re : limite de suite ?

Ah très bien vu ça... Donc si $f$ est contractante (donc $k<1-$lipschitzienne quoi en gros) on pourrait pas mal avancer... J'essaie de chercher par là merci pour la piste !

Dernière modification par Chlore au quinoa (22-03-2021 20:07:23)

Zebulor

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Re : limite de suite ?

Bonsoir !
J'avais aussi cette idée de fonction contractante après avoir exploré d'autres pistes, non concluantes... mais prouver qu'elle est contractante ne semble pas une mince affaire. Etonnant que cette discussion soit sur le forum lycée collège..

Chlore au quinoa

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Re : limite de suite ?

Étonnant qu'on ait donné cette question à un élève de 1re/Tle oui !

Et il suffit de montrer qu'elle l'est sur $]0,1[, on peut même probablement réduire l'intervalle...

Roro

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,

C'est étonnant que vous vous excitiez autant... sauf si vous n'avez pas vu le lien que j'ai donné dans mon dernier post : le fait que le convergence soit lente implique certainement que l'application n'est pas contractante, et donc que la preuve ne soit pas si simple.

Enfin, si vous trouvez une démonstration plus directe de la convergence, je suis preneur !

Si la question a été posée en lycée, c'est certainement juste pour illustrer "numériquement" une convergence lente, mais il est peu probable qu'on ait explicitement demandé de prouver que la suite était convergente.

Roro.

Dernière modification par Roro (22-03-2021 20:43:57)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonsoir ...

Bon ! Si on regarde le début du dessin que j'ai présenté, certes ce n'est pas une preuve, mais ça peut orienter vers une tentative de raisonnement ...

Puisqu'on peut penser que la courbe bleue joignant les points "solutions" et les points de "renvoi" a tendance a se refermer sur l'intérieur, il est alors "raisonnable" de penser à la tendance "rétractante", d'où recherche ... ?

Si on n'arrive pas, on va chercher autrement !

Dis nous Cédrix, qui es-tu vraiment, à quel niveau ???

Bernard-maths

Zebulor

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,
en attendant une réponse de Cedrix à titre illustratif comme Bernard, mais on peut y faire varier les paramètres..

https://lgarcin.github.io/2016-12-14-suite-logistique/

le fait que le convergence soit lente implique certainement que l'application n'est pas contractante, et donc que la preuve ne soit pas si simple
Roro.

En effet  : convergence en escargot.

Dernière modification par Zebulor (22-03-2021 23:05:39)

Roro

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Re : limite de suite ?

Bonjour,

En regardant le lien donné par Zebulor, on doit pouvoir montrer la convergence en montrant que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes.
Si on note $f(x)=3x(1-x)$ et qu'on remarque que $\displaystyle x-f(f(x)) = 27x\Big(x-\frac{2}{3}\Big)^3$ (calcul précis à vérifier), ça doit pas mal simplifier le boulot... qui reste pour moi de niveau bac+1.

Roro.

Dernière modification par Roro (23-03-2021 08:14:01)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonjour,

Je suis à moitié étonné de ce que je vois, voici une vue du site proposé par Zebulor :

(Valeurs de x et de y entre 0.63 et 0.7 environ)

cette vue suggère que pour ce coeff 3 on a bien 2 voies possibles !

La suite se sépare en 2 et on a 2 limites proches de 2/3 mais de part et d'autre .. y'a plus qu'à trouver comment le prouver ... et les trouver.

Dans mon #10, je suggérais une évolution contractante, et donc peut-être convergente, mais là on est dans un cas particulier de cette suite logistique.

Que se passe-t-il si on essaye une valeur (de départ ?) u0 = dans le carré blanc ?...

Cordialement, Bernard-maths

PS : @ Zebulor, qui écrit quand je modifie ... affaire à suivre !

Dernière modification par Bernard-maths (23-03-2021 09:36:59)

Zebulor

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Re : limite de suite ?

Bonjour,
@Bernard : tiens je viens de m'apercevoir qu'on pouvait zoomer..  j'ai des choses à faire, mais affaire à suivre !
En attendant l'égalité de Roro :

$\displaystyle x-f(f(x)) = 27x\Big(x-\frac{2}{3}\Big)^3$ (calcul précis à vérifier)
Roro.

est juste.. j'ai un polynôme de degré 4 dans mes calculs qui lui ressemble beaucoup..

@Bernard : oui les maths sont parfois prenantes et je suis resté un peu ici.. mais cette fois je prends l'air ce matin. A plus tard !

Dernière modification par Zebulor (23-03-2021 13:45:33)

Zebulor

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Re : limite de suite ?

re,

Que se passe-t-il si on essaye une valeur (de départ ?) u0 = dans le carré blanc ?...

par exemple $u_0=0.65$ ? avec mes petites connaissances en Python acquises grâce à yoshi ..

Dans ce lien :
https://pynative.com/online-python-code … thon-code/

on peut copier coller ce code et changer les paramètres ..

u = 0.30 #on intialise u au premier terme de la suite / Ici la suite des indices pairs
index = 0   # le premier terme est de rang 0
print("u(",index,")=",u) # on affiche u
while index <= 20000: #tant qu'on n'a pas atteint le rang 20000
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant
    index = index + 1 # on passe au rang suivant
    print("u(",index,")=",u) # on affiche u

Et une variante pour ceux qui veulent tester les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$
Dans le code suivant je teste la suite $(u_{2n+1})$

u = 0.63 #on intialise u au premier terme de la suite
index = 1   # le premier terme est de rang 0  ou 1 suivant la suite extraite
print("u(",index,")=",u) # on affiche u
while index <= 20000: #tant qu'on n'a pas atteint le rang 20000
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant
    u = 3*u*(1-u)   # ...on calcule le terme suivant du terme suivant
    index = index + 2 # on passe deuxième rang suivant
    print("u(",index,")=",u) # on affiche u

Dernière modification par Zebulor (23-03-2021 21:44:07)

Zebulor

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Re : limite de suite ?

re,
en rejoignant l'idée de Roro on trouve (je vous passe les calculs) :
$\frac {u_{n+2}}{u_{n}}-1=-(3u_{n}-2)^3$, et on peut en déduire la monotonie des suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ ...

Dernière modification par Zebulor (25-03-2021 11:47:12)

Bernard-maths

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,

je suis d'accord ! Mais cela ne prouve pas la convergence ...
Et en plus il semble qu'elles convergent vers 2 limites distinctes ... ?

J'ai fait une simulation Excel, aussi.

Et en plus, il semble que ça dépende de u(o) ... ?

Quand je repense aux diagramme des valeurs d'adhérence, je crois que ce problème est plutôt complexe ...

Et en plus Cédrix est muet ...

A plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-03-2021 21:34:02)

Zebulor

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,
en effet ça ne prouve pas la convergence en effet de la suite de Cedrix ... car ce n'est qu'une étape du raisonnement

Par contre il semble bien que les suites extraites des termes pairs et impairs convergent vers $\frac {2}{3}$

Dernière modification par Zebulor (23-03-2021 21:46:23)

Roro

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Re : limite de suite ?

Bonsoir,

Voici une preuve de la convergence de la suite :

On note $f(x)=3x(1-x)$ et la question est de savoir si la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0.3$, $u_{n+1}=f(u_n)$ est convergente.

Préliminaires : on remarque que
$$
\begin{aligned}
&(1) \qquad && f(f(x)) - x = 27x\Big( \frac{2}{3}-x \Big)^3 \\
&(2) \qquad && f(f(x)) - \frac{2}{3} = -27\Big( x-\frac{2}{3} \Big)\Big( x-\frac{1}{3} \Big)\big( x-x_+ \big)\big( x-x_- \big)
\end{aligned}
$$
où $x_\pm = \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt 5}{6}$.

On note $v_n=u_{2n-1}$. Cette suite vérifie $v_1=u_1=0.63$ et $v_{n+1}=f(f(v_n))$. Il est facile de montrer, à partir de (1) et (2), que si 
$\frac{1}{3} < v_n < \frac{2}{3}$ alors $\frac{1}{3} < v_n < v_{n+1} < \frac{2}{3}$. On en déduit que la suite $(v_n)$ est croissante majorée. Elle converge donc vers un point fixe de $f\circ f$ qui ne peut être que $\frac{2}{3}$.

On note $w_n=u_{2n}$. Cette suite vérifie $w_1=u_2=0.6993$ et $w_{n+1}=f(f(w_n))$. Il est facile de montrer, à partir de (1) et (2), que si 
$\frac{2}{3} < w_n < x_+\approx 0.87$ alors $\frac{2}{3} < w_{n+1} < w_n < x_+$. On en déduit que la suite $(w_n)$ est décroissante minorée. Elle converge donc vers un point fixe de $f\circ f$ qui ne peut être que $\frac{2}{3}$.

Finalement la suite $(u_n)$ est bien convergente et a pour limite $\displaystyle \frac{2}{3}$.

Roro.

P.S. Je pense qu'il est difficile d'utiliser le fait que les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont adjacentes car il ne me parait pas simple de voir que $w_n-v_n$ tend vers $0$. C'est d'ailleurs ce qu'on remarque sur les figures et ce que dit Bernard-maths dans son dernier commentaire : l'écart entre deux termes successifs décroît très lentement.

P.P.S Cette méthode fonctionne quelque soit la valeur de $u_0$ (sauf $u_0=0$ ou $u_0=1$) car à partir d'un certain rang, on aura $u_n\in (1/3,x_+)$.

Zebulor

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Re : limite de suite ?

re,
ok pour le raisonnement clair et net. Un point m'échappe : "ces suites convergent donc vers un point fixe de $f\circ f$".
Pour le reste on est d'accord que ce point fixe est nécessairement $\frac {2}{3}$

PS :  $u_0$ ne peut qu' appartenir au segment $]0;1[$ pour cette méthode.. car en dehors de ce segment (excepté 0 et 1)  la suite diverge

Dernière modification par Zebulor (23-03-2021 22:30:59)