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MATH_is

Invité

familles libres

bonjour!

on doit montrer que la famille $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$ est libre (exercice 11 du chapitre généralité sur les kev). On nous propose dans la correction une résolution par récurrence en supposant que la famille soit libre, puis en prouvant au rang n+1

on écrit alors au rang n+1 (ici le rang n) $\lambda_1\cos(a_1x)+\dots+\lambda_N\cos(a_Nx)=0.$  puis on dérive deux fois et on retranche après multiplication pour trouver  $(a_1^2-a_N^2)\lambda_1\cos(a_1x)+\dots+(a_{N-1}^2-a_{N}^2)\lambda_{N-1}\cos(a_{N-1}x)=0.$

Puis par HR, $(a_j^2-a_N^2)\lambda_j=0$ et ainsi $\lambda_j=0$   puisque $a_j^2\neq a_N^2$
or je ne comprends pas le principe de passer par la dérivée pour prouver que les lambdas sont nuls. ne peut on pas le déduire directement car la famille au rang n-1 est libre, donc tous les lambdas sont nuls?

Mathis

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : familles libres

Bonjour

  Essaie ton raisonnement avec n=2 et tu devrais trouver ton erreur.

F.

bridgslam

Membre Expert

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Messages : 1 913

Re : familles libres

Bonjour,

La démarche est bonne, à moment donné, l'hypothèse de récurrence montre que
[tex]\forall i  \in \{ 1,..., n-1 \}  \lambda_i ( a_N^2 - a_i^2 ) = 0 [/tex] et comme les [tex] a_i  \; et \; a_N [/tex] sont >0 (important sinon avec l'opposé... ) et distincts, on a bien nullité des [tex] \lambda_i [/tex].
Mais ensuite ce n'est pas fini, il reste à montrer aussi autre chose, je te laisse conclure...

Alain