Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Quentintin

Invité

Dérivée

Bonsoir à tous

Voici ma fonction:

$\lambda_k |x-a_k|=-\sum_{j\neq k}\lambda_j |x-a_j|$

on dit dans l'exercice que cette fonction est dérivable, car tous les $|x-a_j|$ sont dérivables, Alors $\lambda_k$ vaut 0
Je me demande pourquoi on affirme que  $\lambda_k$ vaut 0. Est ce parce que si on prend la limite en + et - $a_k$, on se retrouve avec une expression négantive d'un coté et une positive de l'autre, et il n'y a alors pas égalité de la dérivée donc pas égalité de la fonction?
(De plus est ce que cette conclusion est admise? l'implication dérivées egales -> fonctions égales)

Bonne soirée à tous

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Dérivée

Bonjour,
d'autres que moi se chargeront de te répondre pour l'essentiel mais pour ceci :

(De plus est ce que cette conclusion est admise? l'implication dérivées egales -> fonctions égales)

non si tu considères les dériveés de $f(x)=x$ et $g(x)=x+1$

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Dérivée

Bonjour !

Je vois qu'il y a des valeurs absolues : la fonction valeur absolue est-elle dérivable ?

Après, à toi d'ajuster ta réponse,

Bernard-maths

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Dérivée

Bonjour,

Peux-tu afficher l'énoncé de l'exo depuis le départ, dans ta formulation de départ je fois une égalité , et une affirmation fausse sans autre hypothèse...
Ce n'est pas clair.

Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Dérivée

Ce que j'imagine ( présume plutôt ) c'est qu'on doit te demander de prouver que la famille des fonctions [tex] x -> |x - a_k | [/tex] où k parcourt un ensemble fini d'indices , et les [tex]a_k[/tex] distincts, est libre.

Dans ce cas en annulant une combinaison linéaire, et en écrivant une égalité telle que la tienne, que peux-tu dire de la dérivabilité de chaque fonction membre en [tex]a_k[/tex] ?

Tu dois trouver que si [tex] \lambda_k [/tex] est non nul, le terme de gauche n'est pas dérivable en [tex]a_k[/tex] ...
et aboutir à une contradiction.

Donc, je te laisse conclure... dans tous les détails.

L'exo montre notamment que l'espace vectoriel des fonctions de [tex]\mathbb{R} [/tex] dans lui-même n'est pas de dimension fini, puisque tu as trouvé une famille de vecteurs, libre, aussi grande que tu veux, ce qui n'est pas possible en dimension finie.

Alain

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 901

Re : Dérivée

Bonjour !

Il est vrai que l'énoncé n'est pas correct avec "une affirmation fausse" !

Pour ma part je suis passé "au-dessus" ce qui est peut-être un peu cavalier ...

en imaginant l'énoncé ?

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-03-2021 15:47:44)

Quentintin

Invité

Re : Dérivée

Bonsoir et merci pour vos réponses

Ce que j'imagine ( présume plutôt ) c'est qu'on doit te demander de prouver que la famille des fonctions [tex] x -> |x - a_k | [/tex] où k parcourt un ensemble fini d'indices , et les [tex]a_k[/tex] distincts, est libre.

en effet c'est le but de l'exercice.
Voila ce à quoi j'ai pensé en lisant vos réponses: la fonction −∑j≠kλj $\lambda_k |x-a_k|$, il faut que cette fonction soit aussi dérivable en $a_k$ . Or la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0. Il faut alors que  $\lambda_k$ soit nul pour pouvoir dériver (j'écris ca mais je ne suis pas convaincu de ce que je dis...)
Cette dernière ligne ne me convaincs pas, donc je ne pense pas que ca soit la bonne justification, mais qui sait?

Quentin

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dérivée

Si c'est tout à  fait l'idée

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Dérivée

Bonjour

Même remarque pour moi, mais il faut dire tout de même pourquoi du côté membre avec le sigma, c'est dérivable: parce-que chaque terme de la somme est dérivable en chaque point où elle ne s'annule pas - à cause de la valeur absolue - , or en [tex]a_k[/tex] c'est justement ça. La somme de fonctions dérivables en un même point (  [tex]a_k[/tex] ) est alors dérivable en ce point.
C'est faux du côté gauche où elle s'annule justement.

Alain

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Dérivée

A translations près des abcisses  pour chaque fonction [tex]| | ... | [/tex] cela revient à regarder si une fonction comme
[tex]\lambda | x |  [/tex] est dérivable en 0, visiblement non sauf si ....

Alain

Quentintin

Invité

Re : Dérivée

Très bien merci à tous pour votre aide

bonne soirée
Quentin