Forum de mathématiques - Bibm@th.net

dragon@x

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points d'intersections de deux cercles [Résolu]

Bonjours!

C'est la première fois que je fais demande à vos services et je dois dire que je ne suis pas très confortable avec le site.  Du moins pour le moment...

J'ai 44 ans et les mathématiques de la petite école sont loin derrière moi.  Cependant, j'ai un projet, un passe temps qui me demande de résoudre quelques équations mathématiques.  Mon problème d'aujourd'hui est ceci:

J'ai deux cercles qui s'entrecroisent sur un plan cartésien.  Les deux cercles ayant leurs formules respectives (R2 = (x-x0)2 + (y-y0)2), je voudrais connaître les coordonnées des deux points d'intersection.  Quelle est la procédure à suivre?

Merci

john

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Re : points d'intersections de deux cercles [Résolu]

Bonsoir,
Bonne question, car il est difficile de résoudre 2 équations quadratiques simultanément si l'on ne connait pas le truc...
On fait la différence des 2 équations quadratiques (A) et (B), pour obtenir une équation linéaire (C).
On résout ensuite au choix (A) et (C) ou (B) et (C).
Bon courage.
A+

Dernière modification par john (23-02-2008 23:32:14)

dragon@x

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Re : points d'intersections de deux cercles [Résolu]

Bonjours,

Merci à John d’avoir prêté attention à ma question.  Je me doutais bien qu’il s’agissait d’un système à 2 équations et 2 inconnues.  Mais comme ce genre de mathématiques se retrouve loin derrière moi, il y a quelques notions qui se sont effacées de ma mémoire.  Donc si je veux faire la soustraction des 2 équations suivantes :

R12 = ( x – x1 )2 – ( y – y1 )2

R22 = ( x – x2 )2 – ( y – y2 )2

La seule idée à quoi pourrait bien ressemblé le résultat est ceci :

R12 – R22 = ????

À moins de mettre des valeurs réelles dans mes équations, je ne peux pas résoudre ce mystère. S’il vous plaît, est-ce qu’il y a quelqu’un qui pourrait me rafraichir la mémoire de ces notions de mathématique?

Merci

Dernière modification par dragon@x (25-02-2008 15:14:50)

yoshi

Modo Ferox

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Re : points d'intersections de deux cercles [Résolu]

Bonjour,

On commence par développer les formes avec parenthèses
[tex]x^2-2x_1x+x_1^2+y^2-2y_1y+y_1^2=R_1^2\\x^2-2x_2x+x_2^2+y^2-2y_2y+y_2^2=R_2^2[/tex]
Sostraction membre à membre :
[tex]x^2-2x_1x+x_1^2+y^2-2y_1y+y_1^2-(x^2-2x_2x+x_2^2+y^2-2y_2y+y_2^2)=R_1^2-R_2^2[/tex]
Il reste après suppression des parenthèses et simplications :
[tex]{-2}x_1x+x_1^2-2y_1y+y_1^2+2x_2x-x_2^2+2y_2y-y_2^2=R_1^2-R_2^2[/tex]
Ou encore :
[tex]2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y+y_1^2-y_2^2=R_1^2-R_2^2[/tex]
Ce qui n'est rien d'autre que l'équation de la droite joignant les deux points d'intersection...
Si on ne rencontre pas de problème de division par zéro, on peut la mettre sous la forme plus "courante"
[tex]y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}\,x+\frac{R_1^2-R_2^2-y_1^2+y_2^2}{2(y_2-y_1)}[/tex]
Après on reporte cette valeur de y dans l'une ou l'autre des deux équations de départ...
Mais je m'arrête là parce qu'après c'est vraiment trop pénible à écrire...

Est-ce suffisant ?

@+

J'ai fait ça sans brouillon (la flemme...), j'espère qu'il n'y a pas de fautes de signe...

john

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Re : points d'intersections de deux cercles [Résolu]

Hello,
Quel courage yoshi, je suis admiratif. Mais lorsque ça devient trop fastidieux, j'applique une autre méthode issue de cette règle d'or : "Ce qui n'est pas sur le web, n'existe pas."
Tout est là :
http://pagesperso-orange.fr/math.15873/IntCercl.html
avec une application en ligne.
Enjoy !