Problème exercice limite et développement limités

Unétudiantdeprépa · 14-03-2021 19:13:28

Bonjour à tous,
je rencontre des soucis avec un exercice, on me demande dans un premier temps de calculer, si elles existent, les 3 limites suivantes:
1)[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(x\tan(x)-\frac{\pi}{2cos(x)})[/tex]
2)[tex]\lim_{x \to \infty}\ x^2(e^\frac{1}{x}-e^\frac{^1}{x+1})[/tex] (on ne s'intéresse ici qu'à la limite en +l'infini)
3)[tex]\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^5}(\int_{0}^x \mathrm{e}^{-t^2} \, \mathrm{d}t-x-\frac{x^3}{3})[/tex]
Je comptais donc procéder au calcul grâce au développements limités mais je ne sais pas comment m'y prendre.

On me demandais aussi de donner le développement limité de [tex]f^{-1}[/tex] en 0 à l'ordre 4 sous la forme [tex]a_0+a_1x+a_2x^{2}...[/tex] en utilisant la relation [tex]\forall X \in R,f ({f^{-1}})=X[/tex] (On aura au préalable montrer que f est impaire) en sachant [tex]f:\begin{cases} \ R \longrightarrow R \\ x \longmapsto x+sh(x) \end{cases}[/tex] j'ai déja démontrer que [tex]f[/tex] était bijective, que [tex]f^{-1}[/tex] était dérivable et que [tex]f^{-1}[/tex] possédait bien un dl en 0 à l'ordre 4 mais pour le reste là aussi je ne sais pas comment m'y prendre...
Merci d'avance !

Chlore au quinoa · 14-03-2021 19:39:56

Salut !

Et bien comme tu l'as dit pour le début, il faut utiliser les DL pardi !

1) Je te conseille d'écrire $\tan$ sous la forme $\dfrac{\sin}{\cos}$ et de tout mettre au même dénominateur. En effet, $\tan$ n'admet pas de DL en $\dfrac\pi 2$ mais $\sin$ et $\cos$ si !

2) DL de $\exp$ en $y=\dfrac 1x$ ! Ça se fait tout seul, plein de termes se simplifient !

3) Tu peux intégrer les DL !

lim avec dl · 14-03-2021 20:29:44

Merci beaucoup pour ta réponse !
en mettant au même dénominateur j'obtiens [tex]\frac{2x*sin(x)-\pi}{2cos(x)}[/tex] je fais donc le dl de [tex]\frac{2sin(x)}{2cos(x)}[/tex]
pour me dépatouiller ?

PS: je suis vraiment mauvais en dl je suis désolé si je dis des âneries

Chlore au quinoa · 14-03-2021 20:55:09

Je te conseillerais plutôt de faire le DL en haut et en bas...

Un exemple : Imagine que tu veuilles calculer la limite en $0$ de $f(x)=\dfrac{e^x-1-x-\frac{x^2}{4}}{x^2}$.

Avec les DL usuels tu as $f(x)\underset{x\to 0}= \dfrac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x-\frac{x^2}{4}}{x^2} $

Soit $f(x)\underset{x\to 0}=\dfrac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}$

Donc $\lim\limits_{x\to 0}\,f(x)=\dfrac 12$ .

Tu comprends le principe ?

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (14-03-2021 20:55:27)

lim avec dl · 14-03-2021 21:08:31

Encore merci pour ta réponse en faisant le dl en haut et en bas j'obtiens (je ne sais pas si c'est correct):
-pour le membre du haut: [tex]2x^2-\frac{2x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+o(x^6)-\pi[/tex]
-pour le membre du bas: [tex]2-\frac{2x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{2x^6}{6!}+o(x^6)[/tex]
Si ces dl sont corrects comment dois-je procéder? (j'ai compris les deux dernières lignes de ton exemple mais j'ai un plus de mal pour le debut)

Zebulor · 14-03-2021 21:12:15

Bonsoir,
je me permets cette inscrustation : réduire au même dénominateur te met sur la bonne voie...
Tu peux néanmoins éviter de passer par les DL pour le premier cas en raisonnant : au numérateur entre $2xsinx$ et $\pi$ quel terme est négligeable devant l'autre quand x tend vers 0. Ce qui te permet de donner un équivalent de ton numérateur en 0.
Idem pour le dénominateur, d'où un deuxième équivalent pour le dénominateur.

Ensuite la limite que tu cherches en 0 est simplement le quotient des équivalents.

On dit qu'une fonction $f$ est équivalent à une fonction $g$ en a lorsque $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$. Exemple : un équivalent de $sin(x)+1$ en $0$ est $1$.

Zebulor · 14-03-2021 21:27:22

Re,
tu as utilisé la méthode avec les DL : tu es allé très ..trop loin dans les ordres mais c'est pas grave..
Avec ce que tu as trouvé : j'ai juste corrigé :

lim avec dl a écrit :

-pour le membre du haut: [tex]2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)-\pi[/tex]
-pour le membre du bas: [tex]2-\frac{2x^2}{2!}+\frac{2x^4}{4!}-\frac{2x^6}{6!}+o(x^6)[/tex]

Tu peux écrire très simplement que le numérateur est négligeable devant une certaine quantité. C' est donc un petit o de cette quantité.
Idem pour le dénominateur. Ensuite tu peux conclure sur la limite du quotient.

Exemple : en 0, $x^2+x^4=o(2)$.. d'où toujours en 0 : $x^2+x^4+2=o(2)+2$..

Et pour la notation de Landau :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … andau.html

Dernière modification par Zebulor (14-03-2021 21:50:07)

lim avec dl · 14-03-2021 21:57:51

Merci beaucoup pour ta réponse! Donc je dois trouver la quantité devant laquelle le numérateur est négligeable et de même pour le dénominateur au numérateur la plus grande quantité est [tex]2x^2[/tex] et au dénominateur les plus grandes quantités sont 2 et [tex]\frac{2x^2}{2!}[/tex] je peux donc écrire que le reste du dénominateur et du numérateur sont négligeable devant ces quantités ?

Zebulor · 14-03-2021 22:39:19

Il y a plusieurs manières de voir les choses... l'idée est de voir ce qui se passe quand x tend vers 0 :
quand $x$ tend vers 0 : tu peux voir que dans cette expression [tex]2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)-\pi[/tex] intuitivement que toutes les puissances de $x$ tend vers 0 mais $\pi$ reste lui même.
Donc la somme de toutes ces puissances tend elle aussi vers 0 :
$2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)=o(1)$ par exemple ou encore $o(\pi)$
si bien que [tex]2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)-\pi[/tex] tend vers $-\pi$ ce qui peut se traduire de plusieurs manières, par exemple :
[tex]2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)-\pi=o(\pi)-\pi[/tex] ..
ou encore $\lim_{x \to 0} (2x^2-\frac{2x^4}{3!}+\frac{2x^6}{5!}+o(x^6)-\pi)=-\pi$

Dernière modification par Zebulor (14-03-2021 22:47:28)

lim avec dl · 14-03-2021 22:47:00

Encore une fois merci pour ta réponse, évaluer en 0 me permet donc de savoir les valeurs négligeable quand [tex]x \rightarrow \frac{\pi}{2}[/tex] ?

Zebulor · 14-03-2021 22:52:35

Oups ! mes excuses je n'avais pas vu que ton DL était en $\frac {\pi}{2}$ et non en 0. Mon raisonnement reste valable mais j'étais focalisé sur le post #4 de Chlore au Quinoa avec une limite en 0...

Dernière modification par Zebulor (14-03-2021 22:52:55)

lim avec dl · 14-03-2021 22:54:04

Aucun problème merci beaucoup pour ton aide !!!

Zebulor · 14-03-2021 23:00:03

Dans ce cas tes DL du post #5 sont exacts en 0, aux erreurs de puissance et de facteurs près, mais ils sont faux en $\frac {\pi}{2}$.
Je suis vraiment désolé pour cette confusion..

lim avec dl · 14-03-2021 23:03:45

Mais du coup je n'arrive pas à évaluer avecc pi/2, au numérateur le terme "prépondérant" est [tex]2x^2[/tex] et pi à mon avis mais pour le dénominateur je n'y arrive pas...

lim avec dl · 14-03-2021 23:06:09

Ah zut :/ pas de soucis, mais je ne vois pas comment obtenir d'autres développement limités, je me suis basé sur les formules de mon cours

Zebulor · 14-03-2021 23:08:22

Je ferais un changement de variable dans l'expression [tex]\frac{2x*sin(x)-\pi}{2cos(x)}[/tex]:
dont tu cherches la limite quand $x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$. Alors tu peux poser $x=\frac{\pi}{2}-\alpha$ et ton exercice revient à trouver une limite quand $\alpha$ tend vers 0.
Je te laisse chercher et continuer avec les DL cette fois ci comme te l'indiquait Chlore au Quinoa.

Dernière modification par Zebulor (14-03-2021 23:12:04)

Zebulor · 14-03-2021 23:13:33

Bon courage et bonne nuit !

lim avec dl · 14-03-2021 23:18:21

Merci beaucoup, bonne nuit !

Zebulor · 14-03-2021 23:24:28

PS : un DL d'ordre 2 pour cos et un DL d'ordre 1 pour le sin te permettent de trouver la limite. Allez dodo.

Chlore au quinoa · 15-03-2021 08:13:47

Zebulor a écrit :

PS : un DL d'ordre 2 pour cos et un DL d'ordre 1 pour le sin te permettent de trouver la limite. Allez dodo.

La bonne aide ! C'est ce qui est le plus ch.... quand on fait des DL, savoir jusqu'à quel ordre développer !!
Notre ami devrait y arriver ! Courage costaud !

vam · 15-03-2021 08:37:57

Bonjour

ce qui n'est pas sympa par contre c'est de commencer à obtenir de l'aide ailleurs, et de laisser tomber le fil parce qu'il aurait fallu réfléchir un peu...
https://www.maths-forum.com/superieur/e … 30241.html

Zebulor · 15-03-2021 09:17:18

Bonjour,
@Chlore au Quinoa : oui..
@vam : pas sympa en effet.. faut il en venir au point où il faut vérifier systématiquement que la demande n'a pas été faite sur un autre site..

Chlore au quinoa · 15-03-2021 09:26:44

@vam Comment tu fais pour trouver la discussion dans un autre forum ? Même en tapant l'énoncé exact je ne trouve pas, et t'y arrives à chaque fois! Livre-moi ton secret !

@lim avec dl C'est extrêmement incorrect de manger à plusieurs râteliers en même temps, les gens sur les forum prennent sur leur temps libre pour te répondre et tu réduis tous leurs efforts à néant.

Phrase préférée de notre modérateur : "100% des perdants ont tenté leur chance".

Il clôturera probablement ta discussion... Si tu veux de l'aide la prochaine fois évite le multisite

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (15-03-2021 09:27:02)

yoshi · 15-03-2021 10:35:06

Bonjour,

Rien à ajouter, sinon que certains devraient apprendre à grandir dans leur tête...
@Chlore au quinoa & vam
Merci.

Discussion fermée

@+

[EDIT]@Chlore au quinoa
Je copie/comme la 1ere phrase dans le moteur de recherches : bingo !
Même avec Qwant (Google est bien meilleur, mais sa gestion des cookies m'insupporte...), je tombe direct sur le lien de vam...

Dernière modification par yoshi (15-03-2021 10:40:10)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 14-03-2021 19:13:28

Problème exercice limite et développement limités

#2 14-03-2021 19:39:56

Re : Problème exercice limite et développement limités

#3 14-03-2021 20:29:44

Re : Problème exercice limite et développement limités

#4 14-03-2021 20:55:09

Re : Problème exercice limite et développement limités

#5 14-03-2021 21:08:31

Re : Problème exercice limite et développement limités

#6 14-03-2021 21:12:15

Re : Problème exercice limite et développement limités

#7 14-03-2021 21:27:22

Re : Problème exercice limite et développement limités

#8 14-03-2021 21:57:51

Re : Problème exercice limite et développement limités

#9 14-03-2021 22:39:19

Re : Problème exercice limite et développement limités

#10 14-03-2021 22:47:00

Re : Problème exercice limite et développement limités

#11 14-03-2021 22:52:35

Re : Problème exercice limite et développement limités

#12 14-03-2021 22:54:04

Re : Problème exercice limite et développement limités

#13 14-03-2021 23:00:03

Re : Problème exercice limite et développement limités

#14 14-03-2021 23:03:45

Re : Problème exercice limite et développement limités

#15 14-03-2021 23:06:09

Re : Problème exercice limite et développement limités

#16 14-03-2021 23:08:22

Re : Problème exercice limite et développement limités

#17 14-03-2021 23:13:33

Re : Problème exercice limite et développement limités

#18 14-03-2021 23:18:21

Re : Problème exercice limite et développement limités

#19 14-03-2021 23:24:28

Re : Problème exercice limite et développement limités

#20 15-03-2021 08:13:47

Re : Problème exercice limite et développement limités

#21 15-03-2021 08:37:57

Re : Problème exercice limite et développement limités

#22 15-03-2021 09:17:18

Re : Problème exercice limite et développement limités

#23 15-03-2021 09:26:44

Re : Problème exercice limite et développement limités

#24 15-03-2021 10:35:06

Re : Problème exercice limite et développement limités

Pied de page des forums