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Lili066

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Applications linéaire / polynômes

Bonsoir !

Je m'entraîne sur des exercices d’applications linéaires, et sur celui-ci :

On a : [tex]f:R_2[X]→R_2[X], P↦P−XP′[/tex]

1) Montrer que f est une application linéaire

Pour cette question pas de soucis, j'ai su comment faire.

2) Déterminer Q=f(P).   

Voici ce que j'ai fais :

On a Q de la forme :[tex]ax^2 + bx +c [/tex] et idem pour P, on a donc :

[tex]ax^2 + bx +c = P-X*P' = ax^2 + bx +c -2ax^2 -bx = -ax^2 + c[/tex]

Et à partir de là je ne sais pas trop quoi faire. Je suis aller voir vos exercices et j'ai trouvé pratiquement l'identique de celui-ci : Exercice 16 : Avec des polynômes (partie Applications linéaires sur d'autres espaces). Mais je n'ai pas trop compris comment on retrouvait l'image ...

Roro

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonjour,

Dans la question 2), tu écris : "déterminer Q=f(P)", mais qu'est ce que P ???

Si P est un polynôme de $\mathbb R_2[X]$ alors f(P)=P-XP' et je ne vois pas trop ce que tu peux ajouter... à mon avis la question est un peu différente...

Roro.

Dernière modification par Roro (18-02-2021 17:38:25)

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonsoir et merci pour votre réponse, oui P est un polynôme de [tex]R_2[X][/tex].

J'ai repris l'énoncé exact, en fait dans cette question il faut trouver l'image de f, avec P polynôme de l'ensemble de départ, on cherche donc f(P), l'image de P qui doit être égale à Q, polynôme de l'ensemble d'arrivée.

Et j'ai essayé de m'aider de l'exercice de ce site, mais j'ai du mal à comprendre ...

Chlore au quinoa

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Re : Applications linéaire / polynômes

Salut je me permets d'intervenir !

On ne te demande pas de déterminer l'image de $f$ par hasard ?

Adam

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Salut :)

Je pense que oui, mais la question est posée comme je l'ai indiqué. Mais j'ai écris plus haut ce que j'en ai compris, et donc oui pour moi cela revient à calculer l'image de f, c'est d'ailleurs ce que j'ai essayé de faire.

Roro

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonsoir,

Bon, tu ne veux pas donner l'énoncé exact... mais on le devine facilement. Ça cache quand même une incompréhension sur les questions.
On doit certainement te demander l'image de l'application $f$ et donc l'ensemble $f(\mathbb R_2[X])$, c'est-à-dire l'ensemble $\{f(P), ~P \in \mathbb R_2[X]\}$.

Une fois que tu auras mieux compris la différence entre $f(P)$ (qui est un polynôme), et $\mathrm{im}(f) = \{f(P), ~P \in \mathbb R_2[X]\}$ qui est un sous-ensemble de l'ensemble des polynômes, tu te rendras compte que tu as répondu à la question dans ton premier post :

$$\mathrm{im}(f) = \{-aX²+c, ~ a, c \in \mathbb R\},$$

que tu pourras aussi écrire

$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$

Après, tout dépend de ce qu'on te demande exactement de faire...

Roro.

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonjour, voici l'énoncé exact :

Exercice 5 : application linéaires dans l'espace des polynômes :

Soit f l'application linéaire définie par f :

[tex]f:R_2[X]→R_2[X], P↦P−XP′[/tex]

1) Montrer que f est bien une application linéaire.

Soit [tex]P \in R^{2}[x][/tex]

2) Déterminer Q=f(P).   

3) Déterminer Ker(f). L'application f est-elle un isomorphisme ?

Donc oui pour la question 2 j'ai commencé la démarche, mais cela ne correspondait pas du tout à ce qu'il était expliqué dans votre exercice que j'ai cité.

bridgslam

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonjour,

Tu dois trouver que Im( f) = vect ( { 1 , X^2  } ) donc de dimension 2 visiblement,
puis ker ( f ) = vect(  {X})  lui de dimension 1  (droite vectorielle )

2 + 1 = 3  normal comme d' habitude d'après le théorème du rang ( si tu ne trouvais pas cela, l'erreur serait certaine )

Cordialement
Alain

Chlore au quinoa

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Re : Applications linéaire / polynômes

Alain,

J'interviens parce que tu es en train de donner la réponse à Lili... Le but est de guider les gens, pas de leur apporter des solutions !!

Je te suggère de modifier ton commentaire et de remplacer les réponses par des indications ;)

Amicalement,

Adam

yoshi

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Re : Applications linéaire / polynômes

Re,

@ Chlore au quinoa
    Je plussoie...

@ bridglsam
    Cher membre, vu ton niveau, puis-je te suggérer de t'intéresser au Code Latex, parce que, là, ça fait un peu... "indigent"

      Yoshi
- Modérateur -

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonjour, du coup je n'arrive pas à comprendre comment Bridglsam trouve [tex] Im( f) = vect ( { 1 , X^2  } ) [/tex].

Je pensais avoir répondu à la question, avec la réponse soulevée par Roro.

Chlore au quinoa

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Re : Applications linéaire / polynômes

Une piste pour t'aider : te ramener à $\mathbb{R}^3$. En effet il y a isomorphisme entre $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}_2[X]$, il suffit de prendre uniquement les coefficients des polynômes.

Du coup l'application peut être vue comme $g\,:\,\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
                                                                $(a,b,c)\mapsto$______

Je te laisse compléter l'application... Travailler dans $\mathbb{R}^3$ sera plus simple pour toi je pense :)

Ensuite tu n'auras plus qu'à trouver son image, et ramener les 3 coordonnées à des coefficients devant des $X$ ou $X^2$ !

Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 12:18:26)

Roro

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonjour,

Si tu veux exprimer l'image de ton application, tu peux aussi reprendre ce que j'écrivais. On avait trouvé :

$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$

Ceci exprime le fait que tous les éléments de $\mathrm{im}(f)$ sont exactement les combinaisons des polynômes $X²$ et $1$. Ces deux polynômes étant indépendants, ils forment une base de $\mathrm{im}(f)$.

Roro.

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Une piste pour t'aider : te ramener à $\mathbb{R}^3$. En effet il y a isomorphisme entre $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}_2[X]$, il suffit de prendre uniquement les coefficients des polynômes.

Du coup l'application peut être vue comme $g\,:\,\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
                                                                $(a,b,c)\mapsto$______

Je te laisse compléter l'application... Travailler dans $\mathbb{R}^3$ sera plus simple pour toi je pense :)

Ensuite tu n'auras plus qu'à trouver son image, et ramener les 3 coordonnées à des coefficients devant des $X$ ou $X^2$ !

Adam

Merci pour ton aide, mais je n'ai pas trop compris, par exemple pour l'application, (a,b,c) -> ??

Du coup, j'ai réfléchis aux anciens messages et voici ce que j'ai écris :

On sait que [tex](1,X,X^2)[/tex] est une base de [tex]R_{2}[X][/tex] et donc que [tex]f(1), f(X), f(X^2)[/tex] est une famille génératrice de Im(f).

Et  [tex]f(1)=1 ;  f(X)= 0 ; f(X^2) = -X^2[/tex]

Or, f(X) peut s'écrire avec la combinaisons linéaires des autres (on aurait pu dire f(1) aussi non ?), la famille déjà génératrice est donc f(1) et [tex]f(X^2)[/tex].

La base de Im(f) est alors 1, [tex]-X^2[/tex]

Je corrige, une des bases ...*

Bonjour,

Si tu veux exprimer l'image de ton application, tu peux aussi reprendre ce que j'écrivais. On avait trouvé :

$$\mathrm{im}(f) = \{\alpha X²+\beta, ~ \alpha, \beta \in \mathbb R\}.$$

Ceci exprime le fait que tous les éléments de $\mathrm{im}(f)$ sont exactement les combinaisons des polynômes $X²$ et $1$. Ces deux polynômes étant indépendants, ils forment une base de $\mathrm{im}(f)$.

Roro.

Je retrouve donc bien ton résultat.

Dernière modification par Lili066 (20-02-2021 17:36:21)

Chlore au quinoa

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Re : Applications linéaire / polynômes

Si tu comprends sans mon indication tant mieux !

Pas mal le coup de l'image d'une base... mais est-ce dans ton cours ? Je ne suis pas sûr de ça...du coup tu sais le démontrer que l'image d'une base est génératrice de $\text{Im}( f) $ ?

Mais l'idée est là !

EDIT : En fait c'est faux !!!! J'ai eu un moment d'absence mais l'image d'une famille génératrice est génératrice si et seulement si $f$ est surjective !

Dernière modification par Chlore au quinoa (20-02-2021 17:45:27)

Roro

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Re : Applications linéaire / polynômes

Bonsoir,

Je mets encore mon grain de sel dans cette histoire :

EDIT : En fait c'est faux !!!! J'ai eu un moment d'absence mais l'image d'une famille génératrice est génératrice si et seulement si $f$ est surjective !

Non, c'est bien correct : enfin ça dépend de quoi on parle. Ici il n'est pas question de montrer que $f$ est surjective mais de trouver son image. Et il est bien exact de dire que si une application $f$ est linéaire de $E$ dans $F$ et que $(e_i)_{1\leq i \leq n}$ est une base de $E$ alors $(f(e_i))_{1\leq i \leq n}$ sera génératrice de $\mathrm{im}(f)$.

Reste plus qu'à vérifier que la famille $(f(e_i))_{1\leq i \leq n}$ est libre pour affirmer que c'est une base de $\mathrm{im}(f)$ (mais pas forcément de $F$ si $f$ n'est pas surjective...).

Roro.

Chlore au quinoa

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Re : Applications linéaire / polynômes

Je retourne me coucher... j'avais compris base de $\mathbb{R}_2[X]$ pas de $\text{Im}(f)$. Ça fait plusieurs fois cette semaine que je fais ce genre de connerie, il n'y a pas d'autre mot.
Je suis vraiment navré  de t'avoir embrouillée Lili, tout ce que tu as fait est juste du coup ; et merci beaucoup Roro...
Bonne soirée,

Adam

Lili066

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Re : Applications linéaire / polynômes

Il n'y a pas de soucis ! Tu m'aides déjà énormément ...

Merci à vous tous pour le temps pris à me répondre ! :)