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- Contributions : Récentes | Sans réponse
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#1 19-02-2021 13:03:22
- Bill
- Membre
- Inscription : 20-01-2020
- Messages : 55
Topo
Bonjour,
Je viens de démarrer une série d’exercice sur les notions de base de la topologie; dans le lot, y’a un exercice que je sèche complètement, et puisque mon prof est inaccessible en moment. C’est la galère totale. J’ai donc besoin d’aide.
Soit $E = C^0([−1, 1], \mathbb{R})$, muni de la norme $∥ · ∥_∞$. On munit $\mathbb{R}$ de la valeur absolue. On définit pour $f \in E$, $\phi (f) =\int_0^1 f(t)dt - \int_{-1}^0 f(t)dt.$
1. Montrer que $\phi$ est une forme linéaire continue sur $E$ et que $|||\phi||| = 2 $(pour l’égalité considerer la suite $f_n$ définie par $f_n(x) = −1$ si $x \in [−1,−1/n], f_n(x) = nx$ si $x \in [−1/n,1/n]$ et $f_n(x) = 1$ si $x \in [1/n,1]).$
2. Existe-t-il $f \in E$ de norme 1 tel que $|\phi(f)| = 2 ?$
Merci
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#2 19-02-2021 14:08:41
- Chloe75
- Membre
- Inscription : 28-12-2020
- Messages : 20
Re : Topo
Bonjour,
voici ce que je te propose comme solution:
1. Tout d'abord il est évident que $\phi$ est une forme linéaire. Pour tout $f \in E$, $|\phi(f)|=|\int_0^1 f(t)dt - \int_{-1}^0 f(t)dt|\leq \int_0^1 |f(t)|dt + \int_{-1}^0 |f(t)|dt \leq 2||f||_{\infty}$, ce qui montre que $\phi$ est continue et vérifie $|||\phi||| \leq 2$. Soit $f_n$ la suite de fonctions définie dans l'énoncé. Alors un calcul rapide montre que : $|\phi(f_n)| = 2 - \frac{1}{n} \longrightarrow 2$, tandis que $||f_n||_{\infty} = 1$ pour tout $n$. Ainsi, par définition de la norme triple, $|||\phi||| \geq lim \frac{\phi(f_n)}{||f_n||_{\infty}} = 2$, et on a bien égalité.
2. Supposons qu'il existe $f \in E$ de norme 1 tel que $|\phi(f)|=2.$ Quitte à changer $f$ en $-f$, on peut supposer que $\phi(f)=2$, c'est-à-dire: $\int_0^1 (1-f(t)dt + \int_{-1}^0 (f(t)+1)dt =0.$
Les fonctions $1+f$ et $1-f$ étant positives car $||f||_\infty =1$, on en déduit que $\int_0^1 (1-f(t)dt = \int_{-1}^0 (f(t)+1)dt =0.$ Comme de plus ces fonctons sont continues, sont continues, on doit avoir
$1-f(t)=0$ si $x \in [0,1]$ et $f(t) + 1=0$ si $x \in [-1,0]$.
Ceci conduit à une contradiction en t=0. Il n'existe donc pas de tel $f$.
Bon courage.
Chloé
Dernière modification par Chloe75 (19-02-2021 14:13:59)
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#4 19-02-2021 14:55:28
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 401
Re : Topo
Re,
NON, pas merci Chloé...
1. Tu as fait le boulot à sa place, ce faisant tu as contrevenu à nos Règles :
Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...
A ce niveau, pas de sentiment ! Tu irais voir un médecin, dont tu saurais qu'il a obtenu son diplôme parce qu'on a fait son boulot à sa place ?
2. En quoi lui as-tu rendu service ? En rien, c'est illusoire... La prochaine fois il va se retrouver dans la même problématique !
Aider ne veut pas dire faire le boulot à la place de l'autre, aider c'est mettre sur la voie...
Si Bill n'avait pas encore répondu, j'aurais "caviardé ta réponse", maintenant ça ne servirait plus à rien
Yoshi
- Modérateur -
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