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Lili066

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Espace vectoriel / Somme directe

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

Soit F et G les sous espaces vectorielles de [tex]R^3[/tex] définis par :

[tex]F={(x,y,z)\in R^{3} / x -y-z=0}[/tex]   et   [tex]G={(x,y,z)\in R^{3} / x +y+z=0}[/tex]

1)    Donner la dimension de F puis une base B de F.

La dimension de [tex]R^3[/tex] est 3, donc F a pour dimension 3 également.
Pour trouver une base B de F, on va donc chercher 3 vecteurs libres appartenant à F.

[tex]\vec{u}=(0,1,-1)[/tex]

[tex]\vec{v}=(1,1,0)[/tex]

[tex]\vec{w}=(1,0,1)[/tex]

Il n’existe aucunes combinaisons linéaires entre ces trois vecteurs, ils sont donc libres et forment une base de F.

2)    Donner la dimension de G puis une base B’ de G

La dimension de [tex]R^3[/tex] est 3, donc G a pour dimension 3.

Pour trouver une base B de G, pareil on va donc chercher 3 vecteurs libres appartenant à G.

[tex]\vec{u1}=(1,0,0)[/tex]

[tex]\vec{v1}=(0,1,0)[/tex]

[tex]\vec{w1}=(0,0,1)[/tex]

Il n’existe aucunes combinaisons linéaires entre ces trois vecteurs, ils sont donc libres et forment une base de G.

3)    Les s.e.v. F et G sont-ils en somme directe ?

Ici, je prends un vecteur [tex]\vec{u1}=(a,b,c)[/tex], avec :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} \vec{f} \in F -> \vec{f} = a\vec{u} + b \vec{v} + c \vec{w}& \\ \vec{f} \in G -> \vec{f} = a1\vec{u1} + b1 \vec{v1} + c1\vec{w1}& \end{matrix}\right.[/tex]

Pour prouver que les deux espaces sont en somme directe, il faut prouver que les coefficients a,b,c sont égaux à 0 non ?

En remplaçant avec les valeurs trouvées précédemment, on a le système suivant :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} b+c = a1& \\ a+b=b1& \\ -a+c=c1& \end{matrix}\right.[/tex]

Mais à partir de là je ne sais plus trop quoi faire ..

Chlore au quinoa

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

Salut !

Question 1) je ne suis pas du tout convaincu. On est d'accord que $F$ est inclus dans $\mathbb{R}^3$ ? Même strictement inclus ? La dimension devrait donc être inférieure...
D'ailleurs regarde ta "base" : $\vec{v}-\vec{u}=\vec{w}$. Cette famille est peut-être génératrice mais certainement pas libre.

Question 2) Même remarque !!! Tu as cette fois-ci donné une base de $\mathbb{R}^3$ tout entier ! Prends juste la somme de tes 3 vecteurs. Ça te fait $(1,1,1)$, ce qui est plutôt différent de $(0,0,0)$ pour moi...

Avant de passer à la 3) je te suggère de reprendre les 2 premières !

Adam

Lili066

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

Salut, merci pour ta réponse rapide ! Effectivement ce n'est pas du tout correct... Je réessaye :

[tex](x,y,z)\in F \Leftrightarrow x = y+z \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=y+z & \\ y=y& \\ z=z& \end{matrix}\right.[/tex]

On a donc deux vecteurs : [tex]\vec{u}=(1,1,0)[/tex] et [tex]\vec{v}=(1,0,1)[/tex]
Soit : [tex](x,y,z) \in F \Leftrightarrow (x,y,z) = y\vec{u} + z\vec{v}[/tex]

u et v ne sont pas colinéaires, donc la famille génératrice trouvée et donc aussi une famille libre et (u,v) est une base de F.

Ensuite pour G, même méthode, je trouve la base (u1,v1) avec  [tex]\vec{u1}=(-1,1,0)[/tex] et [tex]\vec{v1}=(-1,0,1)[/tex]

C'est mieux comme cela ? :)

Chlore au quinoa

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

(mini tuto LaTeX : pour faire des indices comme ça : $u_1$ il faut faire u_1 :))

Re,

Bon la justification de la dimension 2 passe, tu as exhibé une base des 2 ensembles ! Bravo !

Ensuite pour que 2 s.e.v. soient en somme directe, il faut et suffit que leur intersection soit réduite au vecteur nul. Donc méthode :

Soit $\vec u \in F\cap G$

[...]

Donc $\vec u =  (0,0,0)$

Bon courage !
Adam

Lili066

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

Pour la somme directe, je dirais que non car si on prends le système suivant :

u=(x,y,z)

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x-y-z=0 & \\ x+y+z=0 & \end{matrix}\right. \rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=y+z & \\ x=0& \end{matrix}\right. \rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x=0 & \\ y=-z& \\ z=z & \end{matrix}\right.[/tex]

Donc l'intersection de F et G est engendrée par u=(0,-1,1), ce vecteur est non nul donc la somme n'est pas directe

ps : merci pour le tuto :)

Dernière modification par Lili066 (16-02-2021 16:49:49)

Chlore au quinoa

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

Re,

Alors oui c'est juste, et c'est bien justifié. Mais retiens qu'en maths le meilleur moyen de montrer que quelque chose ne marche pas, c'est de donner un contre-exemple. Par exemple $(0,1,-1)\in F\cap G$. Voilà donc pas de somme directe :) Mais tu as carrément donné un vecteur qui engendre la droite vectorielle de l'intersection de $F$ et $G$, au moins on peut pas dire que tu as bâclé le boulot ^^

Bonne soirée !
Adam

Dernière modification par Chlore au quinoa (16-02-2021 16:57:10)

Lili066

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Re : Espace vectoriel / Somme directe

Merci beaucoup comme d'habitude. Bonne soirée également !