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jojalex

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Calcul espérance par théorème de transfert

Bonjour,

J'ai un soucis de réalisation de l'exercice suivant. Le résultat que je trouve n'est pas celui donné par le prof et je ne comprends pas pourquoi.
"Soit la v.a. X suivant une loi binomiale de paramètres n=3 et p=1/3. On pose U=X+2. Calculer l'espérance du carré de U".
De mon côté, je trouve 9 et le prof indique qu'il faut trouver 9,66666667.

Si quelqu'un peut en faire la résolution et voir quel résultat il trouve.

Je vous remercie de votre aide.

Chlore au quinoa

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Bonjour !

Avant de te donner ce que j'obtiens, donne-nous donc ta méthode :)

Adam

jojalex

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Voici comment je fais:
E[ U*U ] = E[(X+2)(X+2)]= E[X+2] * E[X+2]
E[X+2] = E[X] + E[2] (par linéarité de l'espérance)
E[X] = n*p = 1
E[2] = 2

Donc E[ U ] = 3 et le résultat final est 9.

Chlore au quinoa

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Ligne 1 de ton calcul : sous quelle condition l'espérance du produit de deux variables aléatoires est égale au produit des espérances ?

jojalex

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Cela fonctionne si les v.a. sont indépendantes.
Dans mon cas on peut le considérer comme vrai car on travaille avec la même variable.

Chlore au quinoa

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Euh, je n'en suis pas persuadé du tout... Rappelle-moi la définition de l'indépendance de deux variables aléatoires ;)

Selon toi $P(X=1 \,\text{et}\, X=2)=P(X=1)P(X=2)$ ??

Adam

jojalex

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Oui c'est vrai si les 2 évènements sont indépendants, il me semble en tout cas.
Mais en fait si je fais le calcul en développant U*U par X^2 + 2X + 4, puis que j'utilise la linéarité, j'arrive aussi à 9.
Pour calculer E[X^2] je n'ai pas d'autres choix que de faire E[X] * E[X] où il y un autre moyen avec les données que j'ai dans l'énoncé de l'exercice ?

Chlore au quinoa

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Alors qu'une variable aléatoire prenne 2 valeur en même temps ça me paraît impossible comme événement non ? Attention à ce que tu dis !! $(X=1\,\cap\,X=2)$ est TOUJOURS égal à $\emptyset$ donc sa probabilité est nulle ! Ce qui n'est pas (forcément) le cas de $P(X=1)P(X=2)$.

Pour résoudre ton exercice, je te conseille de dénombrer toutes les valeurs possibles et leur probabilité respective, c'est le plus simple selon, moi.

Adam

jojalex

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

J'ai fait une petite recherche et effectivement E[X^2]=np+n(p-1)p^2
Tu avais donc raison.

Merci de ton aide car j'ai ainsi creusé

Chlore au quinoa

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Re : Calcul espérance par théorème de transfert

Avec plaisir, mais appliquer ta formule ne va pas beaucoup t'aider, autant la démontrer toi-même ! Je ne la connaissais pas mais je l'ai pourtant retrouvée en quelques minutes juste avec la définition de l'espérance ! Il suffit de remplacer la valeur de $X(\omega)$ dans la somme.

Bonne soirée,

Adam