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philantropix

Invité

fonction ln [Résolu]

Bonjour,
J'ai un devoir maison pour les vacances et j'ai du mal à démarrer un problème d'étude de fonction.
g(x)=2x-(x-1)ln(x-1)
Il faut déterminer la limite de g en -1 puis étudier sons sens de variation sur ]1;+infini[
pour la limite j'ai du mal, il faut trouver 2 mais on a une forme indéterminée "0*infini", si on développe on trouve
2x-xlnx-xln(-1)+lnx+ln(-1)
Mais ln (-1) n'existe pas ! alors est-ce qu'on peut raisonner sur quelque chose qui n'existe pas?le développement était-il bon?

Pour la dérivée de g je trouve :
g'(x)= 2-ln(x-1)+[(x-1)/(x-1)]

Après pour trouver le signe je pense qu'il faut résoudre l'inéquation :
2+ [(x-1)/(x-1)] >ln(x-1), condition pour que g'(x) soit positive

mais j'arrive à

exp[(3x-3)/x-1)]+1>x

et là je ne sais pas comment résoudre puisque j'ai du x des deux cotés !

Merci d'avance

ybebert

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Re : fonction ln [Résolu]

Bonsoir,

en posant X = x-1
on peut écrire lim x=>1 (x-1)ln(x-1) = lim X=>0 Xln(X)  et ça c'est égal à... zéro voir cours...
donc lim x=>1 (x-1)ln(x-1) = 0
d'ou lim x=>1 2x - (x-1)ln(x-1) = 2

Pour la dérivée je ne suis pas d'accord avec toi...

je dirai plutot : g'(x)= 2-ln(x-1) - [(x-1)/(x-1)] = 1 -ln(x-1)   sauf erreur de ma part ...

ça simplifie l'étude de signe ... pas belle la vie !!!

Bon courage et a +