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Driou

Invité

Minimiser l'espérance de la distance d'une va à un point

Bonjour,
Je cherche à minimiser, avec a un réel et X une variable aléatoire d'espérance m et de variance v, E(|X-a|) en jouant sur la valeur de a.
Sachant que X admet une fonction de densité f, on trouve, sauf erreur de ma part, que :
E(|X-a|)=a(intg(-infini,a,f(x)dx)-intg(a,infini,f(x)dx))+intg(a,infini,xf(x)dx)-intg(-infini,a,xf(x)dx)

(Avec intg(a,b,f(x)dx) l'intégrale de a à b de la fonction f selon la variable x).

En dérivant cette dernière expression selon a, on trouve, pour tout a réel : 2af(a)+intg(-infini,a,f(x)dx)-intg(a,infini,f(x)dx).

Est-ce que cela est juste jusqu'ici, et surtout, comment conclure, puisque cette dernière dérivée a l'air difficile à manipuler telle quelle ?

Je vous remercie d'avance.

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 402

Re : Minimiser l'espérance de la distance d'une va à un point

Bonjour,

Pour une formule pareille tu aurais quand même pu faire l'effort de lire la page Code Latex et la mettre en application...

intg(a,b,f(x)dx) l'intégrale de a à b de la fonction f selon la variable x

Selon cette page, on écrit :
\int_a^b f(x) dx  que l'on encadre par un dollar (de chaque côté) -->  $\int_a^b f(x) dx$

Mais je ne comprends pas dans la formule que tu donnes :
E(|X-a|)=a(intg(-infini,a,f(x)dx)-intg(a,infini,f(x)dx))+intg(a,infini,xf(x)dx)-intg(-infini,a,xf(x)dx)

ce que viennent faire là, les parenthèses mises en rouge  : cette notation m'est inconnue. Je n'ai jamais vu quelque chose comme ça :
\int(_{-\infty ^a f(x) dx).
Au pire :
\int_{-\infty}^{a f(x) dx}....  soit $\int_{-\infty}^{a f(x) dx}...$ que je n'ai jamais vu non plus.

Pour gagner du temps veux-tu bien faire une copie de la formule de ton énoncé, la déposer là, récupérer le lien qu'on va te donner et le coller dans ton prochain message : ainsi on ira la voir...
Peut-être que mes petits camarades, comprennent, eux, dans ce cas fais-le quand même pour ma curiosité personnelle...
Merci d'avance.
   
      Yoshi
- Modérateur -

[EDIT] Apparemment, ç'est ta fabrication personnelle...
Je vais me risquer à virer cette parenthèse ouvrante et la fermante associée :
E(|X-a|)=a(\int_{-\infty}^a f(x)dx)-\int _a^{+\infty} f(x)dx))+\int_a^{+\infty}xf(x)dx-\int_{-\infty}^a xf(x)dx
Soit :
$E(|X-a|)=a\left(\int_{-\infty}^a f(x)dx)-\int _a^{+\infty} f(x)dx\right)+\int_a^{+\infty}xf(x)dx-\int_{-\infty}^a xf(x)dx$

C'est bien cela ?

Dernière modification par yoshi (15-02-2021 10:35:14)

Driou

Invité

Re : Minimiser l'espérance de la distance d'une va à un point

En effet, j'ai bien $E(|X-a|)=a(\int_{-\infty}^a f(x)dx)-\int _a^{+\infty} f(x)dx))+\int_a^{+\infty}xf(x)dx-\int_{-\infty}^a xf(x)dx$.
Ce qui me donne la dérivée $2*a*f(a)-\int_a^{+\infty} f(x)dx +\int_{-\infty}^a f(x)dx$ pour tout a réel.

Merci pour la page d'informations, au passage !

Driou

Membre

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Messages : 4

Re : Minimiser l'espérance de la distance d'une va à un point

En fait, cela m'arrangerait, si cela est vrai, de montrer que $2af(a)-\int_a^{\infty} f(x)dx+\int_{-\infty}^a f(x)dx$ et $-\int_a^{\infty} f(x)dx+\int_{-\infty}^a f(x)dx$ sont de même signe quelque soit $a \in \mathbb{R}$, avec bien entendu $f$ à valeurs positives et dont l'intégrale sur $\mathbb{R}$ donne 1.
Une idée, ou bien je fais fausse route ?

Bien à vous