Forum de mathématiques - Bibm@th.net

schumi5908

Membre

Inscription : 13-02-2021

Messages : 5

Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Bonjour.

Mon fils est actuellement en terminale générale avec une spécialité Mathématiques. Il a un devoir à rendre avec un exercice sur lequel il sèche.
J'essaie de l'aider mais je n'y parviens pas non plus, en tout cas, pas en totalité.

L'exercice est le suivant :

1) Soient f et g les fonctions définies sur [0;1[ par f(x)=x-ln(1+x) et g(x)=x+ln(1-x)
Etudier les variations de f et g sur [0;1[
En déduire que, pour tout x de [0;1[, ln(1+x) <= x <= -ln(1-x)

2) Soit S la suite définie, pour tout nombre entier naturel n>=1, par Sn=1/n + 1/n+1 + … + 1/n
Montrer que pour tout entier naturel n>=1 et k tel que n<=k<=5n, on a 1/k appartient à [0;1[ et ln(1+1/k)<=1/k<=-ln(1-1/k)
En déduire que pour tout entier naturel n>=2, on a*: ln(5+1/n)<=Sn<=ln(5n/n-1)
En déduire la limite de la suite Sn

Nous avons résolu la question 1 mais ne parvenons pas à résoudre la question 2.

Avez-vous des idées, des pistes pour nous aider ?

Merci d'avance à tous

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Bonsoir,

Je vais vous donner une piste/indication mais je peux pas vraiment faire plus car l'énoncé est "mal" recopié. La définition que vous donnez de Sn n'est pas claire du tout...

Ceci étant dit, je pense que vous bloquez car vous n'avez pas remarqué que
$$\ln\big(1+\frac{1}{k}\big) = \ln\big(\frac{k+1}{k}\big) = \ln(k+1)-\ln(k),$$
de sorte que quand vous faites des sommes, il y a plein de termes qui s'annulent (on parle généralement de séries "télescopiques").

Si vous voyez ce que je veux dire, je pense que vous aurez résolu votre problème.

Roro.

Dernière modification par Roro (13-02-2021 18:59:40)

schumi5908

Membre

Inscription : 13-02-2021

Messages : 5

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Bonsoir
Merci pour votre réponse.
J'avais bien remarqué pour votre formule avec les logarithmes.
Grâce à cela, j'avais pu trouver la première partie (gauche) de l'inégalité du 2) (En déduire ....) mais rien de plus.
Je ne vois pas comment aider mon fils.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

OK. La partie droite se montre exactement de la même façon, et si vous avez fait celle de gauche, il n'y a aucune raison de ne pas avoir fait celle de droite !!!

D'après la question 1 : pour tout $k$ tel que $n\leq k \leq 5n$, on sait que $\displaystyle \ln(k+1)-\ln(k) \leq \frac{1}{k} \leq \ln(k)-\ln(k-1)$.

Si on fait la somme pour tous les entiers $k$ entre $n$ et $5n$, on en déduit (cf. sommes télescopiques) :

$$\displaystyle \ln(5n+1)-\ln(n) \leq \sum_{k=n}^{5n}\frac{1}{k} \leq \ln(5n)-\ln(n-1)$$

ce qui doit correspondre à ce que vous voulez ? Je mets un point d'interrogation car dans le premier message, ce n'est toujours pas clair : que signifie 5n/n-1... c'est théoriquement différent de 5n/(n-1).

Roro.

Dernière modification par Roro (13-02-2021 21:05:37)

schumi5908

Membre

Inscription : 13-02-2021

Messages : 5

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Bonsoir.

Tout d'abord, merci encore pour votre aide. Je vais tenter de vous réécrire la double inéquation clairement :

ln ( 5 + (1/n) ) <= 5n <= ln ( 5n / (n-1) )

Je me suis un peu trompé dans l'écriture de Sn :

Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/5n

schumi5908

Membre

Inscription : 13-02-2021

Messages : 5

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Rebonsoir

Vos explications m'ont permis de vérifier la double inéquation. Je planche sur la limite.

Merci encore

schumi5908

Membre

Inscription : 13-02-2021

Messages : 5

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

Rebonsoir

J'ai utilisé un encadrement de suite qui ont la même limite, ici ln(5).

Donc la limite de Sn en +inf est égale à ln(5).

Vous m'avez bien dépanné, merci

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Problème de maths sur suite Sn=1/n + 1/n+1 + ... + 1/5n

C'est correct !
Bonne soirée,
Roro.