Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lili066

Invité

Applications linéaires / noyau et image

Bonjour, j'ai l'exercice suivant :

Soit l'application linéaire :

[tex]f : R^{4} \rightarrow R^{3}[/tex]

[tex] (x,y,z,s) \rightarrow (x+2y+z-3s, 2x+5y+4z-5s, x+4y+5z-s)[/tex]

Déterminer Ker f et Im f (on en donnera une base et la dimension)

Voici ce que j'ai fais :

Soit [tex]\vec{u} \in R^{4}[/tex]

[tex]\vec{u} = (x,y,z,s) [/tex]

On cherche donc :

[tex] f(\vec{u}) = 0 [/tex]

Soit :
[tex]
\left\lbrace\begin{matrix} x+2y+z-3s=0 & & \\ 2x+5y+44z-5s=0 & & \\ x+4y+5z-s=0 & & \end{matrix}\right.[/tex]

Je vous évite le pivot de Gauss, je trouve :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x+2y+z-3s=0 & \\ y+2z+s=0 & \end{matrix}\right.[/tex]

Je fixe deux valeurs, z et s.

J'ai donc :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x =-2y-z+3s & \\ y=-2z-s & \end{matrix}\right.[/tex]

Je remplace y dans x :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x =3z+5s & \\ y=-2z-s & \end{matrix}\right.[/tex]

Et partir de là; je suis perdue, car on a x et y, mais je ne sais pas comment z et s ... Cela donnerait les deux vecteurs : (3,-2,z,s) et (5,-1,z,s)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

Bonjour,
ton cheminement est parfait mais ta conclusion mauvaise. En fait si j'ai bien compris tu as fixé z=1 et s=0 pour le premier vecteur et z=0,s=1 pour le deuxième. Et si je suis ta logique les vecteurs solutions seraient (3,-2,1,0) et (5,-1,0,1). Ce sont en effet des vecteurs du noyau mais il y en a une infinité..
En fait chaque coordonnée d'un vecteur du noyau s'exprime en fonction de $z$ et $s$, puisque c'est le paramétrage que tu as choisi.

Soit [tex]\vec{u} \in R^{4}[/tex]

[tex]\vec{u} = (x,y,z,s) [/tex]

On cherche donc :

[tex] f(\vec{u}) = 0 [/tex]

Je fixe deux valeurs, z et s.

"tu fixes 2 valeurs" : tu veux dire par là que tu choisis arbitrairement 2 paramètres que sont les deux dernières coordonnées en fonction desquelles les coordonnées $x$ et $y$ s'expriment :
tout simplement [tex]\vec{u} = \vec{u}(z,s)=(3z+5s,-2z-s,z,s) [/tex]
Pour un vecteur du noyau donné $z$ et $s$ sont fixés dans $\mathbb R$ indépendamment l'un de l'autre.

Dernière modification par Zebulor (07-02-2021 16:06:48)

Lili066

Invité

Re : Applications linéaires / noyau et image

Merci à toi pour ta réponse rapide, j'ai suivi une certaine méthode que je ne maîtrise pas tout à fait.

Si je comprends bien, on trouve (3,-2,1,0) et (5,-1,0,1) car z et s sont fixés dans R, et représente les paramètres. Vu que chaque vecteur du noyau s'exprime avec z et s, c'est comme si l'on devait considérer que z et s sont une base de R ? D'où les valeurs 0 et 1 ?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

re,

c'est comme si l'on devait considérer que z et s sont une base de R ? D'où les valeurs 0 et 1 ?

je n'avais pas vu les choses comme çà mais si je t'ai bien compris tu veux peut être dire que les couples $(1;0)$ et $(0;1)$ forment une base de RxR parce que tout couple $(z,s)$ est combinaison linéaire de ces vecteurs de la base RxR
Je suis pas sur de bien comprendre ta première phrase : "si je comprends bien ..."

Dernière modification par Zebulor (07-02-2021 16:58:55)

Lili066

Membre

Inscription : 07-02-2021

Messages : 21

Re : Applications linéaires / noyau et image

Oui c'est ce que je voulais dire. J'essaie de comprendre pourquoi on choisit ces valeurs pour z et s.

Pour ma première phrase, je disais juste que si on fixe deux valeurs z et s, on obtient deux vecteurs (3,-2,1,0) et (5,-1,0,1).

ps : je viens de m'inscrire, je suis triste j'ai plus les opérations à faire :')

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

Tu peux voir que tout vecteur du noyau est combinaison linéaire de ces deux vecteurs  (3,-2,1,0) et (5,-1,0,1).
J'essaie de comprendre pourquoi tu me dis qu'on choisit ces valeurs pour $z$ et $s$..

Dernière modification par Zebulor (07-02-2021 16:57:51)

Lili066

Membre

Inscription : 07-02-2021

Messages : 21

Re : Applications linéaires / noyau et image

Bonjour,
ton cheminement est parfait mais ta conclusion mauvaise. En fait si j'ai bien compris tu as fixé z=1 et s=0 pour le premier vecteur et z=0,s=1 pour le deuxième. Et si je suis ta logique les vecteurs solutions seraient (3,-2,1,0) et (5,-1,0,1).

C'est ceci dont je parlais. Mais finalement après avoir relu vos explications j'ai réussis à comprendre, merci beaucoup !

En ce qui concerne l'image, si je choisis un vecteur [tex]\vec{v}=(a,b,c)[/tex] appartenant à [tex]R^{3}[/tex] et [tex]\vec{u}=(x,y,z,s)[/tex] appartenant à [tex]R^{4}[/tex]. On a donc :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} a = x+2y+z-3s & & \\ b=2x+5y+4z-5s & & \\ c=x+4y+5z-s & & \end{matrix}\right.[/tex]

Mais à partir de là, je ne vois pas quel est l'objectif ?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

L'objectif ? le même pour le noyau : trouver une base de Im f, parce que Im f est complètement défini (ou "déterminé" pour prendre le terme de ton post #1) par la base qui le constitue.
Je pense que la méthode que je te proposais dans l'autre discussion 'application linéaire" post #7 est plus appropriée et je te propose de t"en inspirer, parce qu'en introduisant des variables supplémentaires $a$, $b$ et $c$ tu compliques le problème.
Tu peux aussi écrire matriciellement sous forme $f(X)=AX$ ce qui à l'avantage de rendre les choses plus visuelles.

Dernière modification par Zebulor (08-02-2021 05:37:50)

Lili066

Membre

Inscription : 07-02-2021

Messages : 21

Re : Applications linéaires / noyau et image

D'accord, mais si je dis que je prends deux vecteurs libres :

[tex]f(\vec{u})=(1,0,0,0) = (1,2,1) \in R^{3}[/tex]
[tex]f(\vec{v})=(0,1,0,0) = (2,4,5) \in R^{3}[/tex]

Les vecteurs trouvés sont libres donc Img f = Vect((1,2,1);(2,4,5))

C'est une bonne méthode ?

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

re,
tu voulais sans doute prendre les images de 2 vecteurs de base canonique de $\mathbb R^{4}$:
[tex]f(\vec{u})=f(1,0,0,0) = (1,2,1) \in R^{3}[/tex]
[tex]f(\vec{v})=f(0,1,0,0) = (2,4,5) \in R^{3}[/tex]
je ne connais pas en tout cas de chemin plus direct pour trouver une base de Im f. Reste à justifier que cette base est constituée de 2 vecteurs.

Dernière modification par Zebulor (08-02-2021 15:12:05)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

par contre c'est [tex]f(\vec{v})=f(0,1,0,0) = (2,5,4) [/tex]

Lili066

Membre

Inscription : 07-02-2021

Messages : 21

Re : Applications linéaires / noyau et image

Oui effectivement faute de frappe. Merci beaucoup pour le temps pris à me répondre, bonne journée :)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Applications linéaires / noyau et image

merci de même