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Lili066

Invité

Apllications linéaires

Bonjour, je viens de commencer le chapitre sur les Applications linéaires. Je m'exerce sur l'exercice suivant :

Justifier que l’application suivante est linéaire. Déterminer ensuite son noyau et son image (on en donnera une base) :

[tex]g : R^{3} \rightarrow R^{4}      (x,y,z) \rightarrow (x+z,y-x,z+y,x+y+2z)[/tex]

Je note deux vecteurs [tex]\vec{u} = (x,y,z)[/tex]   et  [tex] \vec{v} =(x',y',z') [/tex] 

On a  : 

[tex]f(\vec{u} + \alpha \vec{v} ) = f((x,y,z) + \alpha (x',y',z')) [/tex]

Soit :

[tex]
= (x+\alpha x', y + \alpha y' , z+ \alpha z') = (x+\alpha x' + z+\alpha z' , y +\alpha y' - x +\alpha x' , z+\alpha z' + y+\alpha y' , x+\alpha x' + y+\alpha y' + 2*(z+\alpha z'))[/tex]

Je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon, et à partir de là, je ne sais plus quoi à faire ...

Lili066

Invité

Re : Apllications linéaires

Le calcul s'est mal affiché ...

[tex] (x+\alpha x' + z+\alpha z' , y +\alpha y' - x +\alpha x' , z+\alpha z' + y+\alpha y' , x+\alpha x' + y+\alpha y' + 2*(z+\alpha z'))[/tex]

Chlore au quinoa

Membre

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Messages : 305

Re : Apllications linéaires

Salut !

Déjà je te déconseille fortement les ' et les $\vec u$ ça embrouille visuellement, c'est super dur à relire ^^.

Pour montrer qu'une application est linéaire tu dois vérifier qu'elle satisfait bien la propriété de linéarité, soit :

$\forall (\alpha,u,v)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3,\, f(\alpha u+v)=\alpha f(u)+f(v)$

Donc il faut partir de l'expression de $f$, et calculer ce que vaut $f(\alpha u+v)$, et montrer que cela fait bien $\alpha f(u)+f(v)$, soit ce que tu as commencé à faire. Déjà petite erreur pour la $2^e$ coordonnée, tu es sûr(e) que c'est bien $x \color{red} + \alpha x'$ ?

Ensuite une fois ceci corrigé, ça vaut quoi $\alpha f(u) + f(v)$  ? Cela devrait te permettre de conclure...

Bon courage !

Adam

Lili066

Invité

Re : Apllications linéaires

Bonjour, merci pour votre réponse.

Pour l'erreur, effectivement j'ai oublié le signe "-". Je vous évite tout le calcul qui est très long, je trouve de toute manière la bonne expression. Merci !

Je passe maintenant au noyau et à l'image. J'ai du mal avec cette notion, à quoi correspond le "noyau" ?

J'essaie,

On prends un vecteur [tex]\vec{u} = (x,y,z) [/tex] qui appartient à [tex]R^3[/tex]

f([tex]\vec{u} [/tex]) = 0 (de [tex]R^3[/tex] )

Cela donne que

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x+z = 0 & \\ y-x = 0 & \\ z+y=0& \\ x+y+2z =0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = -z & \\ y = -z & \\ z =0& \\ x+y+2z =0 & \end{matrix}\right.[/tex]

x,y,z sont nuls donc il existe bien un noyau de f ?

Sa dimension est donc de 0, or on sait que dim(E)=dim(Kerf)+dim(Imf) soit dim(Imf) = 3

Et pour l'image je cherche, pour l'instant je ne sais pas

Lili066

Invité

Re : Apllications linéaires

J'ai fais de grosses erreurs, je viens de m'en rendre compte ...

On a plutôt :

[tex]\left\lbrace\begin{matrix} x+z = 0 & \\ y-x = 0 & \\ z+y=0& \\ x+y+2z =0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = -z & \\ y = -z & \\ y = -z & \\ z =z & \end{matrix}\right.[/tex]

On a donc [tex]\vec{u}[/tex] = (-z, -z, z) soit [tex]\vec{u}[/tex] = z (-1,-1,1) donc le vecteur [tex]\vec{u}[/tex] appartient à un certain sous espaces engendrés par le vecteur (-1,-1,1).

Donc Ker f = Vect(-1,-1,1). La dimension est donc de 1, donc dim(Imf) = 2

Lili066

Invité

Re : Apllications linéaires

Pour l'image, je note le vecteur v qui appartient à [tex]R^4[/tex] tel que v=(a,b,c,d).

[tex](a,b,c,d) = f(x,y,z) \Rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} a = x+z & & \\ b = x-z& & \\ c = z+y& & \\ d = x+y + 2z& & \end{matrix}\right.[/tex]

Et à partir de là, je dois trouver a,b,c,d ?

Zebulor

Membre expert

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Re : Apllications linéaires

Bonjour,
je me permets cette incursion : en écrivant sous forme de vecteurs colonnes, tu y verras peut être plus clair
En posant $X=$$\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right)$
tu as $f(X)=$$x$$\left( \begin{array}{c}
..\\
.. \\
..
\end{array} \right)+y$$\left( \begin{array}{c}
..\\
.. \\
..
\end{array} \right)+z$$\left( \begin{array}{c}
..\\
.. \\
..
\end{array} \right)$

Lili066

Invité

Re : Apllications linéaires

Oui merci, ma première méthode fonctionne mais elle est très longue... J'ai résolu tous mes problèmes, merci !

Chlore au quinoa

Membre

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Messages : 305

Re : Apllications linéaires

Waouw re !

J'ai du mal avec cette notion, à quoi correspond le "noyau" ?

Le noyau d'une application linéaire $f$ qui va d'un espace vectoriel $E$ dans un autre $F$ est défini par : $\text{Ker}(f)=\{x\in E \,| \,f(x)=0\}$ soit l'ensemble des éléments de $E$ qui annulent $f$.

Ton calcul du noyau est bon, je trouve également $\text{Ker}(f)=\text{Vect}(1,1,-1)$ et donc $\text{dim(Ker(}f)) = 1$.

Le théorème du rang te donne bien $\text{rg}(f)=2$

Salut Zebulor, juste tu as oublié des pointillés dans tes vecteurs colonnes, la dimension de l'espace d'arrivée est 4 donc il doit y avoir 4 composantes dans les vecteurs.

Et Lili pour l'image oui tu dois trouver 2 vecteurs qui engendrent l'image de $f$, la méthode de Zebulor a l'avantage d'être plus claire qu'un simple système où l'on ne comprend pas trop ce que l'on fait.

Bonne journée à vous deux !

Dernière modification par Chlore au quinoa (05-02-2021 16:03:14)

Zebulor

Membre expert

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Messages : 2 230

Re : Apllications linéaires

Salut Chlore au quinoa !
et merci d'avoir rectifié.