Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sarah032

Invité

réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Bonjour,

J'ai un devoir à rendre en maths, cependant je suis complètement bloquée à une étape :
J'ai besoin de faire la réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique) de l'équation suivante :

f(x,y,z)= 6x^2 +4y^2 +2z^2 −8xy+2xz−4yz+6x−4y+2z

j'essai de partir du fait que (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc mais je finis toujours par m'embrouiller dans mes calculs.

Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, je lui en remercie d'avance!

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 803

Re : réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Bonjour,

Le principe est de ne pas essayer de tout faire d'un seul coup !

Tu commences par t'occuper des "x" par exemple : tu prends tous les termes (bilinéaires) contenant "x", ici $6x^2 −8xy+2xz$, et tu essayes de faire apparaître un carré de la forme $6(x+a)² = 6x²+12ax+6a²$. Tu vois que pour que les "x" soient tous pris en compte, il faut que tu choisisses $12a=-8y+2z$, donc $a=-\frac23 y+\frac16 z$. Tu en déduis
$$6x^2 −8xy+2xz = 6\left(x-\frac23 y+\frac16 z\right)² - 6a² =  6\left(x-\frac23 y+\frac16 z\right)² - \frac83 y² + \frac43 yz + \frac{1}{6} z².$$

A la fin de cette étape, tous les "x" sont dans ce premier carré. Tu t'occupes ensuite du reste qui ne contient plus que des "y" et "z", par exemple en ne regardant que les termes avec "y", etc.

Cette méthode te permet aussi de t'assurer que les formes linéaires obtenues (la première ici : $x-\frac23 y+\frac16 z$) sont indépendantes puisque seule la première dépendra de "x", seules les deux premières dépendront de "y", etc.

Roro.

sarah032

Invité

Re : réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Bonjour,

Merci pour votre réponse, mais apparement il faut réduire que la première partie c'est à dire : 6x^2+4y^2+2z^2-8xy+2xz-4yz
car le reste ne correspond qu'à la partie affine (linéaire).

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 803

Re : réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Bonsoir,

En effet, il ne faut réduire que la partie quadratique.

Roro.

sarah032

Invité

Re : réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Je trouve ça comme réduction :

2[ (x-2y+1/2z)^2 +2x^2 - 2y^2 + 3/4z^2]

Mais je n'ai pas l'impression que c'est correcte

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 803

Re : réduction de gauss (réduction en somme de carré - forme quadratique)

Bonjour,

Sans regarder vraiment ce que tu as écrit, c'est clair que c'est faux puisque tu as obtenu une somme de 4 carrés... il ne peut y en avoir plus de 3 lorsque tu as 3 variables !

Tu n'as clairement pas appliqué la méthode de Gauss telle que je l'ai montrée... Pourquoi n'as-tu pas continué ce que j'avais commencé ?

Roro.

Dernière modification par Roro (31-01-2021 08:39:32)