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Chloe75

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Equadiff

Bonjour,
En résolvant cette équation :
(E): $y^{´´}+2y’+y=t^3+3e^{2t}+te^{-t}$
je bloque vers la fin, un peu d’aide pour la finir sera la bienvenue.
Voici ma résolution:

L’equation considérée est linéaire du second ordre et à coefficient constant donc l’ensemble des solutions est un sous espace vectoriel de dimension 2. L’equation Caractéristiques associée est : $r^2+r+1=0$, le discriminant est $\Delta$=4-4=0. La racine double de cette équation est -1;
En conséquence les solutions sont de la forme : $t \longrightarrow (1+t)e^{-t}$.
Une solution particulière de (E) est de la forme :
$U_{p1}(t) = at^3 +bt^2+ct+d$
En remplaçant dans l’equation différentielle et en identifiant on obtient :
a = 1, b =-6, c = 18, d =-24.
Et donc $U_{p1}(t) = t^3-6t^2+18t-24$

Merci pour vos idées.

Chloe75

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Re : Equadiff

Ça y est j’ai trouvé en appliquant la méthode de superposition (j’avais oublié la marche à suivre).
$U_{p2}=\frac{e^{2t}}{3}$ et $U_{p3}=\frac{t^3e^{-t}}{6}$
Et donc la solution générale est :
$y(t) = (t+1)e^{-t}+(t^3-6t^2+18t-24)+ \frac{e^{2t}}{3}+ \frac{t^3e^{-t}}{6}$

Dernière modification par Chloe75 (07-01-2021 14:34:11)

Zebulor

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Re : Equadiff

Bonjour,
@Cloe75 : c'est presque çà

Zebulor

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Re : Equadiff

En conséquence les solutions sont de la forme : $t \longrightarrow (1+t)e^{-t}$.

Je pense que tu voulais dire : les solutions de l'équation homogène. Elles sont d'une forme plus générale que ce que tu as écrit

Chlore au quinoa

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Re : Equadiff

Bonjour Chloé,

En résolvant, je trouve également $presque$ la même chose, il y a un problème de constantes d'intégration, probablement lié à la remarque de Zebulor :)

Adam.

Chloe75

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Re : Equadiff

Oui c’est vrai, dans ma tête je lisais « équation homogène ». Au tant pour moi.  merci à tous les deux pour la remarque.

Chloé.

Dernière modification par Chloe75 (07-01-2021 17:02:24)