Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouss

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Limite en un point

Bonjour et bonne année à tous,

Jai une question concernant la fonction partie entiere que peut on dire de sa limite en 2 par exemple.
je ne suis pas sûr, je dirais que sa limite à droite vaut 2 mais à gauche on ne sait pas car ca vaut 1 exclu...

Pouvez vous meclairer s'il vous plaît concernant la limite en un point ou la fonction nest pas continue.
merci davance

skywalker27

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Re : Limite en un point

Bonjour Mouss.

Ca tombe bien, j'ai cet exemple dans le cours.

Définition : On dit qu'une fonction est continue en un réel $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $.

Prenons la fonction partie entière, avec $n$ un entier quelconque,

Limite en $n$ à gauche sur l'intervalle $[n-1;n[$ :

$\lim_{\underset{x<n}{x \to n}}E(x) = n-1$  car: $n-1 \leq x < n$

exemple (avec 2) : $E(1,999999) = 1$  car: $1 \leq 1,999999 < 2$

Limite en $n$ à droite sur l'intervalle $[n;n+1[$ :

$\lim_{\underset{x>n}{x \to n}}E(x) = n$  car: $n \leq x <n+1$

exemple (avec 2) : $E(2,000001) = 2$ car:  $2 \leq 2,000001 < 3$

Conclusion : cette fonction est discontinue en tout point entier.

Pour qu'elle le fût, il aurait fallu avoir la même limite à gauche et à droite de $n$.

[Edit] j'ai spécifié les intervalles.

Dernière modification par skywalker27 (04-01-2021 13:49:18)

Mouss

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Re : Limite en un point

Merci beaucoup pour cet exempke détaillé cest plus clair !

Mouss

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Re : Limite en un point

J'ai dautres questions sil vous plait, pourquoi :
* la fonction racine carré nest pas continue sur R ?
* et pourquoi ne peut-on pas dire que la fonction inverse est continue sur R*, car elle est continue sur R+* et aussi sur R-*?

!merci

Zebulor

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Re : Limite en un point

Bonjour Mouss,
pour approfondir la question sur la partie entière, tu as la discussion "notion de continuité" avec l'exemple de la fonction partie entière.
-je réponds à ta première question sur la racine carré par une autre question : la fonction racine carré est elle définie sur R ?
- et la fonction inverse n'est pas continue sur $\mathbb R^{*}$ parce qu'elle n'est pas continue sur un segment inclus dans $\mathbb R^{*}$, par exemple  [-1;1]

Dernière modification par Zebulor (04-01-2021 16:21:56)

Mouss

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Re : Limite en un point

Merci pour votre retour rapide.

Donc si jai bien compris on parle de continuité dune fonction que sur son domaine de definition ou sur un intervalle inclus dans son domaine de definition... Pque la fonction racine carre nest pas defini sur R-.

Mouss

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Re : Limite en un point

Bonjour,

Je reviens vers vous car je nai pas tout à fait compris pourquoi on ne peut pas dire que la fonction inverse est continue sur ]-inf;0[ u ]0;+inf[, si elle est continue sur ces deux intervalle sauf en 0 ?

Je nai pas compris la justification avec le segment.
Est ce que cela à un lien avec cette definition : une fonction est continue sur I si elle est continue en tout point de I ?

Merci pour votre aide,
Etonnant car sur certains cours cest ecrit que cest vrai et dans dautres que cest faux. Je suis perdu.

Zebulor

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Re : Limite en un point

Bonjour Mouss,
mes excuses car je m'aperçois que ce que j'ai écris précédemment sur la fonction inverse est faux : [-1;+1] n est pas inclus dans $\mathbb{R}^{*}$ car [-1;+1] contient $0$

Ceci me semble plus juste : la fonction inverse est continue sur chacun des intervalles $\mathbb{R}^{*+}$ et $\mathbb{R}^{*-}$.

De là à conclure que la fonction inverse est continue sur la réunion de deux ensembles précédents $\mathbb{R}^{*}$ ? je crois que ça fait l'objet de débats..

je vais faire dans la facilité mais je pense que cette page devrait répondre au moins en partie à tes interrogations :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … nuite.html

Dernière modification par Zebulor (05-01-2021 11:57:14)

Mouss

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Re : Limite en un point

Est ce que cest comme la derivabilité, je veux dire par là que ce sont des notions qui ne sapplique qu'aux intervalles et du coup comme une union d'intervalle nest pas un intervalle on ne peut pas dire que 1/x est continue sur tout son domaine de definition ?

Chlore au quinoa

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Re : Limite en un point

Salut !
Je m'incruste dans la discussion !
Pour ton dernier message effectivement, sur [tex] \mathbb{R} [/tex] , la notion de continuité est liée aux intervalles (un point étant un intervalle fermé ayant ses 2 bornes égales).
C'est pourquoi tu as très bien compris le litige avec le fait que  [tex] \mathbb{R} [/tex]* n'est PAS un intervalle :)

Dernière modification par Chlore au quinoa (06-01-2021 10:12:01)