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wavy

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Volume intérieur d'un tore

Bonjour, je suis en L2 de physique et j'ai cet exercice à faire en maths :

Les coordonnées cylindriques sont notées (ρ, φ, z) et la base mobile associée (eρ, eφ, ez).
On définit en coordonnées cylindriques la surface nommée tore par les équations paramétriques suivantes:

ρ = ρ0 + R cos u
φ = v
z = R sin u

où ρ0 et R sont des constantes positives strictement telles que ρ0 > R et u et v sont deux paramètres qui décrivent l’intervalle ] − [tex]\pi, +\pi[/tex]].

1) Préciser quelle est la courbe intersection du tore et d’un demi plan méridien.
- question faite, c'est un cercle

2) Déterminer l’aire du tore (on calculera au préalable l’expression de dS sous forme paramétrique).
- question faite : ici ce que le prof attend c'est qu'on fasse via l'intégration de dS, donc on a : [tex]dS = dl/du \wedge dl/dv[/tex], puis [tex]\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}||dS||[/tex]. J'ai fait cette question, mais je précise ça pour la question suivante.

3) Déterminer le volume intérieur du tore.
- ici on doit faire via une intégrale aussi, comme à la question 2), donc on ne peut pas utiliser les formules "normales" du volume du tore. J'imagine qu'il faut faire une intégrale triple avec "dV", mais je ne vois pas bien comment m'y prendre

4) Donner une équation cartésienne en coordonnées cartésiennes du tore (c’est-à-dire une relation entre les coordonnées x, y et z qui ne fait pas intervenir les paramètres u et v).
- ici j'imagine qu'on est censé trouver cette équation à partir des données du problème... mais je ne sais pas comment m'y prendre..

Merci d'avance pour votre aide !

Zebulor

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Re : Volume intérieur d'un tore

Bonsoir,
pour la question 3) l'intégrale triple dV ne semble a priori pas évidente en effet parce que certaines variables sont dépendantes.
Ceci pourrait t 'aider :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … uldin.html
Et pour l'équation cartésienne :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tore
en adaptant les variables à celles de ton problème

Dernière modification par Zebulor (31-12-2020 19:13:52)

wavy

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Re : Volume intérieur d'un tore

Bonjour, d'accord oui merci ça m'a un peu aidé.

pour référence j'ai trouvé ça pour l'intégrale triple : [tex]\displaystyle\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\rho=\rho_0-R}^{\rho_0+R}\int_{-\sqrt{R^2-(\rho-\rho_0)^2}}^{+\sqrt{R^2-(\rho-\rho_0)^2}}\rho dz d\rho d\phi[/tex]

Toute la difficulté était dans comprendre qu'il fallait exprimer [tex]z[/tex] en fonction de [tex]\rho[/tex], puis comment le faire.

Dernière modification par wavy (01-01-2021 10:59:25)