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Melvin

Invité

Fonctions logarithmes

Bonjour j’ai un exercices sur les fonctions logarithmes que je n’ai pas comprit

Voici l’exercice : 

Le niveau d’intensité acoustique ( ou sonore) L en (en dB) dépend de la puissance P ( en W) de la source sonore et de la distance R(en m) à cette source.

1) A l’aide d’un sonomètre, on a mesure le niveau d’intensité acoustique à différentes distances d’une machine, pour une puissance de 0,01W

R(m)     1       2      4       7      10    20    40
L(dB)  89    83    79   73     69   65     62

Représenter les points de coordonnés (R;L)figurant dans le tableau sur le papier semi-logarithmes ci- contre.

2) Ces points sont approximativement situés sur la droite passant par le 1er et le 5ème d’entre eux.

On considère donc qu’il existe des nombres à et b tels que les coordonnées ( R; L) de ces points vérifient l?égalité L = a log(R) + b.

Calculer a et b à partir des coordonnées du 1er et du 5ème  points.

3)Calculer l’intensité  acoustique L pour une distance R égale a 15M.
Arrondir les résultats à 1dB près:

J’ai déjà représenter les points de coordonnés sur le papier demi logarithmique.

Je ne comprend pas la question 2 et je n’ai pas la méthode pour la question 3 merci de votre aide.

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Bonjour Melvin !

Pour la question 2, as-tu compris ce que signifie l'égalité $L=a \times log(R)+b $ ?
Elle ressemble fortement à l'équation de droite $y=ax+b$, vu que ta courbe a une allure de droite dans le repère semi-logarithmique.

Ensuite, on te demande de déterminer $a$ et $b$ à partir des coordonnées des 1er et 5ème points. Là aussi, ça ressemble à un exercice typique, où on te donne deux points et tu dois déterminer l'équation de la droite. Ici, tu peux résoudre un système, dont les inconnues sont $a$ et $b$, en remplaçant $R$ et $L$ par les valeurs données.   

Enfin, pour la question 3, tu vas avoir besoin de la formule établie à la question 2. Tu peux vérifier graphiquement la cohérence de ton résultat.

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Bonsoir j’ai voulu trouver l'équation de la droite d’ajustement et j’ai trouve -0,59x +81.39

Es que j’ai fait la bonne méthode merci

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Bonsoir !

Désolé, je crois que je t'ai induit en erreur en te parlant d'équation de droite, car il ne faut pas utiliser le tableur. 

1) Ta solution avec le tableur

Pour trouver $-0,59x +81.39$, tu as fait un tableau à deux lignes avec les valeurs de $R$ et de $L$, puis tu as obtenu l'équation de la droite d'ajustement.

Ce n'est pas une mauvaise idée, mais il y a une erreur dans ce que tu as fait.

Il fallait prendre les valeurs de $log(R)$ pour obtenir une "vraie droite" (des points beaucoup mieux alignés) car tu n'es pas dans un repère semi-logarithmique.

De plus, quand tu vois les points que tu as obtenu, ça n'a vraiment pas l'air d'une droite...

Donc pour obtenir des points plus ou moins alignés, il fallait faire le graphique de $L$ en fonction de $log(R)$. L'équation de la droite d'ajustement serait alors : $ y = -17,528x + 88,436 $.

Donc $ L = -17,528 \times log(R) + 88,436 $, ce qui nous donnerait $a$ et $b$. 

Cependant, avec le tableur, tu as utilisé les 7 points, alors que l'énoncé demande de se servir de seulement deux points.

2) La solution "attendue"

On te demande d'utiliser seulement deux points, car on fait l'approximation suivante :

Ces points sont approximativement situés sur la droite passant par le 1er et le 5ème d’entre eux.

En effet, il faut

calculer $a$ et $b$ à partir des coordonnées du 1er et du 5ème points

Donc, tu dois te servir seulement des cordonnées du 1er et du 5ème points : tu n'as donc même pas besoin d'utiliser le tableur. En fait, il te suffit de résoudre le système suivant:

$\left\{
\begin{array}{l}
L_1 = a \times log(R_1) + b\\
L_5 = a \times log(R_5) + b\\
\end{array}
\right.$

En plus, les valeurs du 1er et du 5ème points sont "gentilles", elles t'évitent des manipulations avec $log$ et sa fonction réciproque. 

J'espère avoir mieux expliqué, cette fois-ci. 

skywalker

Dernière modification par skywalker27 (26-12-2020 23:51:20)

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Bonjour

je ne vois pas par quoi il faut remplacer a et b

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Salut !

Donc pour l’instant tu ne sais pas par quoi remplacer a et b : c’est normal, vu que ce sont des inconnues. Tu dois résoudre le système (voir mon message précédent).

Dans le système, qui te permet de déterminer a et b, il faut remplacer $L_1$, $R_1$, $L_5$ et $R_5$ par les valeurs qui sont données dans le tableau.

On sait que $L_1= 89$ ; $R_1 = 1$ ; etc.

Et après, tu remarques que $log(1) = 0$ et $log(10)=1$. Ce qui te permet de trouver  rapidement les valeurs de a et de b.

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Salut

Donc pour L1 ça serait : 89=a × log 1 +b
Donc 89= a× 0 + b
Donc vu que multiplier par 0 fera tj 0 cela veut dire que b es égale à 89.Mais je ne sais pas comment trouver a

Pour L5 =a × log10+ b
Donc a × 1 + b

La je ne sais pas comment trouver a et b
Merci de ton aide je suis un peu perdu

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Salut !

Tu sais que $b = 89$. De plus, la solution du système est un unique couple de réels $(a;b)$.

"Pourquoi ?" Alors, vu que $log(1)$ et $log(10)$ sont des valeurs définies (car 1 et 10 sont strictement positifs), on peut assimiler ce système à un système linéaire d'inconnues $a$ et $b$, qui admet :

- soit une seule solution, c'est le couple de réels $(a;b)$ ==> d'après l'énoncé, tu es dans ce cas.
- soit aucune solution
- soit une infinité de solutions, c'est-à-dire tous les couples de la forme $(a;ma+p)$ ou $(b;mb+p)$

Au passage, résoudre un système linéaire revient à déterminer l'intersection de deux droites :
- si elles sont sécantes en un point, alors il y a un unique point d'intersection.
- si elles sont parallèles et non confondues, alors il n'y a pas de point d'intersection (ensemble vide).
- si elles sont confondues, alors il y a une infinité de points d'intersection qui appartiennent de fait aux deux droites.

Tout ça pour te dire qu'il n'y a qu'une seule valeur de $a$ et qu'une seule valeur de $b$.
Donc quand tu résous ton système, une fois que tu as trouvé la valeur de $b$ à la première ligne, tu peux remplacer $b$ par sa valeur dans la deuxième ligne:

$\left\{
\begin{array}{l}
b = 89 \\
L_5 = a \times log(R_5) + 89 \\
\end{array}
\right.$

Là, je crois que ça ne devrait plus te poser problème.

Et de rien pour l'aide :)

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Salut donc la mtn il faut trouver a c'est ça?

Donc a= (L5-89)÷log(R5)

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Oui, il faut trouver $a$, et n'oublie pas que tu connais les valeurs $L_5$ et $R_5$, c'est les valeurs à la 5ème colonne de ton tableau.

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Salut j’ai essayer de calculer a sans succès avec l1 c’es impossible et avec l5 cela me donne un faux résultat -20 ,quand je veut vérifier a en faisant a log(R)+b cela me donne 49

Mevin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Ah non j’ai réussi à trouver les valeurs j’avais dû mettre des mauvaises parenthèses car en les enlevants j’ai trouver les résultats.

Merci pour ton aide

Melvin

Invité

Re : Fonctions logarithmes

Pour la 3 j’ai trouver ~ 65.47817482 que j’ai arrondit à 65 en faisant -20*log(15)+89
Fallait il utiliser tout les points ou seulement le 1 et et le 5 eme point?

skywalker27

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Re : Fonctions logarithmes

Salut Melvin

Ton résultat est correct ! En effet, 15 mètres est compris entre 10 et 20, et ton résultat se situe entre 69 et 65 (voir données du tableau).

Pour ton arrondi: je crois que tu pourrais peut-être garder un chiffre après la virgule, car sinon, il n'y a pas d'écart avec la valeur trouvée pour R=20m.

Pour répondre à ta question:
- à la question 2, on te demande d'utiliser seulement le 1er et le 5ème points.
- la question 3 vient après la question 2, donc on a le droit de se servir de ce que l'on vient de faire à la question 2. 

Oui, je sais, c'est pas vraiment un "droit", c'est plutôt un devoir... ;)

Par exemple, quand je suis en contrôle et que je suis bloqué à la première question (1/ Identifier les réactifs et les produits de la réaction), c'est généralement pas bon signe... parce que les questions qui suivent nécessitent les résultats établis aux questions précédentes (2/ Etablir l'équation de la réaction.)

Là, c'est pareil, la question 3 n'est faisable que si l'on a répondu correctement à la question 2. 

Donc je suis prêt à parier qu'il fallait utiliser seulement le 1er et le 5ème points pour la question 3, comme on l'a fait pour la question 2.

Au passage, bonne année à tous !