Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kokux0503

Membre

Inscription : 31-12-2020

Messages : 5

Développement limité

Bonjour,

Je suis tout nouveau donc j'espère que je ne transgresserai pas les règles du forum.
Je fais actuellement un petit exercice sur les DL et j'aurai besoin d'aide. En effet, cela fait plusieurs heures que je bloque sur cet exercice sans voir mon erreur.

Le but est de donner un DL de [tex]\frac{1}{h^2}arctan(\frac{1}{2+h})[/tex]. J'ai donc dérivé arctan et obtenu : [tex]\frac{-1}{(2+h^2)+1}[/tex]. En effectuant un DL de ceci grâce à 1/1+u = 1- u + u^2 = o (u^2), je trouve après avoir primitivé : [tex]arctan(\frac{1}{2})-h + \frac{(2+h)^3}{3} + o(h^3)[/tex], soit :
[tex]-arctan(\frac{1}{2})+h - \frac{(2+h)^3}{3} + o(h^3)[/tex].
Ensuite, je multiplie par 1/h^2 mais le problème c'est que je ne parviens pas à trouver le bon résultat (même si je développe). En effet, je sais grâce à de formidables calculatrices en ligne que le résultat correcte est : [tex]\frac{arctan\frac{1}{2}}{h^2}-\frac{1}{5h} + \frac{2}{25} - \frac{11h}{375} + o(h)[/tex].

Sauriez-vous trouver mon erreur ?

Je vous remercie grandement pour l'aide apportée.

Cordialement,

kokux0503

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Développement limité

Bonjour

  Tu ne peux pas utiliser ici le dl de 1/(1+u) car u=2+h^2 ne tend pas vers 0 si h tend vers 0.

F.

kokux0503

Membre

Inscription : 31-12-2020

Messages : 5

Re : Développement limité

Ah mince, je n'avais pas vu ceci. Le problème maintenant, c'est que je ne sais pas trop comment continuer car la seule piste que j'avais n'est plus possible. J'ai essayé de poser g = 2+h, mais cela ne marche pas (à moins que je me sois trompé lors de mes calculs). J'ai également pensé à une identité remarquable mais là aussi je pense pas que ce soit très utile. Auriez-vous un début de piste pour me débloquer ?
Merci

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Développement limité

Bonjour,
sans m'être vraiment plongé dans ton problème, une méthode possible serait par la formule de Taylor

kokux0503

Membre

Inscription : 31-12-2020

Messages : 5

Re : Développement limité

Hmm je ne sais pas trop. Mon idée de base c'était de dériver l'expression que l'on me donnait, puis effectuer un DL afin ensuite de primitiver ce dernier et donc obtenir la forme finale voulue.
Passer par la formule de Taylor impliquerait de dériver à nouveau l'expression que j'ai dérivée : à votre avis cela est-il judicieux de faire ce choix ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Développement limité

Tu dérives une fois et tu mets 3 en facteur au dénominateur...

kokux0503

Membre

Inscription : 31-12-2020

Messages : 5

Re : Développement limité

Mince, je viens de voir que j'avais mal écrit la dérivée. La réelle dérivée est en fait : [tex]\frac{-1}{(2+h)^2+1}[/tex] et  non pas [tex]\frac{-1}{(2+h^2)+1}[/tex]. Excusez-moi, je me suis mal relu.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Développement limité

Donc tu développes le dénominateur et tu factorises par 5 pour te ramener â 1+u

F.

kokux0503

Membre

Inscription : 31-12-2020

Messages : 5

Re : Développement limité

C'était aussi simple que ça et je l'ai pas vu... En tout cas merci pour votre aide. J'ai finalement réussi à trouver la forme finale.
Merci beaucoup et à bientôt.

Bonnes fêtes