Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bingo88

Invité

Calcul de limite d'une suite complexe.

Bonjour tous,

Comment calcule-t-on [tex] \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } n^{ \alpha } e^{ i n t } [/tex], où [tex] \alpha \geq 0 [/tex], et [tex] t \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z} [/tex] ?

Merci d'avance pour toute aide.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Calcul de limite d'une suite complexe.

Bonjour,

pour [tex] t \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z} [/tex] , $cos(nt)$ n'a pas de limite quand n tend vers l'infini

Par ailleurs pour $\alpha$ différent de $0$, $n^{\alpha}$ tend vers l'infini quand $n$ tend vers l'infini
pour $\alpha=0$, $n^{\alpha}$ vaut 1.

Au final la limite que tu cherches n'existe pas

Dernière modification par Zebulor (26-12-2020 16:36:50)

Bingo88

Invité

Re : Calcul de limite d'une suite complexe.

Merci beaucoup.
Pourquoi, pour [tex] t \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z}[/tex], la limite [tex]\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } \cos (nt)[/tex] n'existe pas ?
J'imagine que, en fixant [tex]t \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z} [/tex], et si on pose [tex]u_n = \cos ( nt )[/tex], alors, on montre que, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_n[/tex] n'existe pas, en exhibant deux suites extraites [tex]u_{ \varphi (n) }[/tex] et [tex]u_{ \psi (n) }[/tex], telles que, [tex]\displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{ \varphi (n) } \neq  \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } u_{ \psi (n) }[/tex]. Est ce que c'est ça ?
Merci infiniment.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 230

Re : Calcul de limite d'une suite complexe.

re,
je pense que c'est ça en posant par exemple [tex] \varphi (n)=n [/tex] et [tex]\psi (n)=n+1[/tex]