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Free13

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Notion de continuité

Hello!

Je me pose une question un peu stupide,

Est ce qu'une fonction f peut etre continue à droite d'un certain point x0, également continue à gauche, mais pas continue en ce point ?

En fait intuitivement je me dis que cela est possible sauf que ça remets, pour moi, en question le principe même de continuité qui est que pour moi on doit avoir que lim x->x0+ = f(x0) mais alors si lim x->xo- n'est pas égal à f(x0) ça veut dire qu'elle est d'office pas continue à gauche, par exemple.

Je ne sais pas si ce que je dis est très clair,

Merci d'avance !

F

Fred

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Re : Notion de continuité

Non, cela n'est pas possible.
Si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en $x_0$, ces deux limites doivent coïncider et être égales à $f(x_0)$. Ceci revient à dire (par exemple, en utilisant la définition de la limite), qu'elle admet une limite en $x_0$.

F.

Zebulor

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Re : Notion de continuité

Bonjour,
@Free : ta question est loin d'être stupide.
je me demandais ce que Free comprend par "continuité à droite" ou "continuité à gauche" sachant qu'on parle de continuité en un point ou sur un intervalle..

Jsp

Invité

Re : Notion de continuité

Bonjour,

L'application $\lfloor . \rfloor: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}$ et qui à $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ est continue à droite et à gauche en tout $x\in\mathbb{Z}$ et pourtant elle n'est pas continue.

Zebulor

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Re : Notion de continuité

re,

L'application $\lfloor . \rfloor: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}$ et qui à $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ est continue à droite et à gauche en tout $x\in\mathbb{Z}$ et pourtant elle n'est pas continue.

Non cette application est continue à droite pour tout $x\in\mathbb{Z}$ mais n'est pas continue à gauche pour tout $x\in\mathbb{Z}$ et çà peut se démontrer avec la définition de la continuité a gauche.
La fonction partie entière est continue en $x$ si $x$ n'est pas un entier...

Dernière modification par Zebulor (23-12-2020 18:20:22)

Jsp

Invité

Re : Notion de continuité

Oui, tu peux le vérifier graphiquement pour t'en convaincre.

Zebulor

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Re : Notion de continuité

re,
j'ai modifié mon post 5 . Pour plus de lisibilité dans cette discussion je précise que je posais la question suivante à Jsp :
"es tu sur que la fonction partie entière est continue à gauche pour tout $x\in\mathbb{Z}$ ?

Fred

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Re : Notion de continuité

Tout dépend comment on définit la notion de continuité à droite en $x_0$.
Est-ce que c'est :

$$\forall \epsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in [x_0,x_0+\eta[,\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.$$

Dans ce cas, la fonction partie entière n'est pas continue à gauche en $0$.

Zebulor

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Re : Notion de continuité

Re,
je ne connais pas d'autres définitions de la continuité à droite en $x_0$ que celle donnée par Fred..

Zebulor

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Re : Notion de continuité

re,
@jsp : Si on prend symétriquement comme définition de la notion de continuité à gauche en $x_0$ ceci :

$$\forall \epsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in ]x_0-\eta,x_0],\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.$$

Tu peux prendre $\epsilon=\frac {1}{2}$ et tester l'inégalité $|f(x)-f(0)|<\epsilon.$

Et  pour en rajouter une couche, tu peux voir que pour tout $x \lt 0$, la distance entre $f(x)$ et $f(0)$ ne peut pas être rendue aussi petite qu'on veut, d'où la discontinuité de $f$ à gauche en $0$

Dernière modification par Zebulor (24-12-2020 10:49:23)

Free13

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Re : Notion de continuité

Wow je vois que ma question a soulevé débat, merci à tous pour vos réponses.

Alors en fait ce que j'entends par continuité à gauche c'est que la limite par la gauche = f(x0) et par continuité à droite que la limite par la droite = f(x0).

Ainsi, j'ai bien sur pensé à la fonction partie entière qui est selon moi continue par la droite mais pas par la gauche, et effectivement graphiquement cela est tout à fait convainquant, ceci étant cela ne répondait pas exactement ma question qui était que je m'interrogeais sur la notion de continuité en un point précisément en prenant en comme mise en relief les deux continuités latérales.

Permettez moi donc d'exprimer la chose quelque peu plus clairement :

Existe t il une fonction f telle que limite à droite de f(x0) = f(x0) = limite à gauche de f(x0) sans pour autant que cette fonction soit continue en x0.

En fait, ce questionnement s'est soulevé à mes yeux en calculant des dérivées de fonctions définies par parties, car je ne comprenais pas pourquoi on devait calculer la dérivée d'un point particulier de l'ensemble de définition en calculant les limites latérales des formules des taux d'accroissements.

Merci encore,

Free

Fred

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Re : Notion de continuité

Existe t il une fonction f telle que limite à droite de f(x0) = f(x0) = limite à gauche de f(x0) sans pour autant que cette fonction soit continue en x0.

Non! C'est une conséquence immédiate des définitions rappelées ci-dessus.

Free13

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Re : Notion de continuité

Bonjour !
D'accord je crois avoir compris la nuance, merci encore!