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Itomska

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simplification des écritures avec des racines carrées

Bonjour à tous !

Je pense avoir un gros problème de méthodologie pour simplifier les écritures des résultats incluant des racines.
Il s'agit pour moi d'écrire de façon la plus simplifiée possible les racines du polynôme du second degré suivant :

[tex] 2x^2 +(\sqrt{6}+\sqrt{2})x+\sqrt{3} = 0 [/tex]

Bref, mes deux solutions sont exprimées de façon brute à l'aide du discriminant du polynôme, et je suis incapable de les ramenées à l'écriture la plus simplifiée à savoir :

[tex] x=-\frac{\sqrt{2}}{2} [/tex] ou  [tex] x=-\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]

A priori je connais bien les règles de calcul incluants les racines, je pense donc que c'est un problème de méthode... je torture les résultats mais je tourne en rond.
Merci d'avance pour l'aide apportée

Dernière modification par Itomska (20-12-2020 21:31:51)

Roro

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Re : simplification des écritures avec des racines carrées

Bonjour,

Si tu ne nous montres pas les racines que tu as obtenues, il va être difficile de t'aider !

A mon avis, il faut que tu commences par écrire de façon "simple" le discriminant. Un coup de main (regarde bien comment je ne développe volontairement pas tout, et remarque bien que $8 \sqrt 3 = 4 \sqrt 6 \sqrt 2$) :

$$\Delta = (\sqrt 6 + \sqrt 2)² - 8 \sqrt 3 = \big[ (\sqrt 6)^2 + 2 \sqrt 6 \sqrt 2 + (\sqrt 2)² \big] - 4 \sqrt 6 \sqrt 2 = (\sqrt 6)^2 - 2 \sqrt 6 \sqrt 2 + (\sqrt 2)² = (\sqrt 6 - \sqrt 2)².$$

Roro.

P.S. Je pense que tu as fait une coquille pour donner la seconde solution !
P.P.S Les racines sont évidentes lorsque fait le lien entre somme $S$ et produit $P$ des racines... $X²-S X +P=0$.

Dernière modification par Roro (20-12-2020 16:28:01)

Itomska

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Re : simplification des écritures avec des racines carrées

Bonjour Roro, et merci pour le temps que tu m'as consacré...

Je n'ai pas montré les racines que j'avais obtenues, étant novice dans le codage des formules je reconnais que je me suis montré faignant... Et effectivement j'ai inversé le deux et le trois... c'est corrigé

Ta démonstration est limpide et je me sens un peu idiot de ne pas l'avoir vu... il faut dire que je fais des mathématiques par plaisir, mais que je n'ai pas forcément le coup d'oeil... Aussi les racines ne me sont pas évidentes quand je fais le lien avec les sommes et les produits.

Donc dans mes calculs j'avais bien noté que :
$ 2\sqrt{6}\sqrt{2}=4\sqrt{3} $ mais j'ai travaillé dans l'autre sens donc : $\Delta=8-4\sqrt{3}$

Et donc finalement je me retrouvais avec :

$  x=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}}{4}  $

Et c'est à partir de ça que je torturais mon résultat... sans jamais réussir à faire apparaitre un carré parfait dans mon $\Delta$
Quel manque de coup d'œil.

Merci encore

Dernière modification par Itomska (20-12-2020 21:29:45)