Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tmota

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Pôle simple

Bonjour,
je suis bloqué sur une question d'un énoncé de concours pour lequel je ne saisis pas la démarche. La voici :

On considère un entier n>0 et deux suites finis $(a_k)$ et $(b_k)$ de réels telles que $a_j+b_k\neq 0$ pour tout indice $k$. On définit ensuite $D_m$ le déterminant de Cauchy et la fraction rationnelle :

$R(X)=\frac{\prod_{k=1}^{n-1}(X-a_k)}{\prod_{k=1}^{n}(X+b_k)}$

On suppose que R(X) s'écrit sous la forme

$R(X)=\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{X+b_k}$

.

Il est dit :

Pour commencer, remarquons que comme $a_j+b_k\neq 0$ alors la fraction rationnelle $R$ est écrite sous forme irréductible. Tous les $-b_k$ sont bien des pôles de $R$.
En outre, l'existence d'une décomposition en éléments simples pour R de la forme :

$R(X)=\sum_{k=1}^n\frac{A_k}{X+b_k}$

entraîne que tous les pôles de $R$ sont simples et par conséquent que les $(b_k)$ sont deux à deux distincts.

Je ne comprends pas le passage en gras !
Quelque chose m'échappe, pouvez-vous m'aider ?
Merci !

Fred

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Re : Pôle simple

Bonjour,

  Peut-être parce que, quitte à identifier les $b_k$ qui seraient égaux, ta fraction rationnelle s'écrirait
$$R(X)=\sum_{k=1}^l \frac{A'_l}{X+b'_l}$$
où les $b'_l$ sont tous distincts. En remettant au même dénominateur, on trouvera une décomposition de la forme
$$R(X)=\frac{P(X)}{\prod_{i=1}^l (X+b'_l)}$$
et là on voit clairement que la fraction n'a que des pôles simples.

F.

Tmota

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Re : Pôle simple

Je vois !
Merci !