Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Drake

Invité

Limite

Bonjour,

Comment procéderiez vous pour répondre à ces deux questions ?

1) Soit f une fonction de classe C^1 sur [a, b]. Montrer que :

lim quand n tend vers +infini de intégrale de a à b de f(x)sin(nx) dx = lim quand n tend vers +infini de intégrale de a à b de f(x)cos(nx) dx =0

2) Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que f(a + b − x) = f(x) pour tout x ∈ [a, b]. Montrer que :

intégrale de a à b de xf(x) dx = ( (a+b)/2 )*intégrale de a à b de f(x) dx

Zebulor

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Re : Limite

Bonjour;
pour la question 1) en intégrant par parties...

Roro

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Re : Limite

Bonjour,

et pour la question 2) en faisant un changement de variable. Et toi, comment ferais-tu ?

Roro.

Dernière modification par Roro (06-12-2020 09:47:08)

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Ok merci je crois que c'est bon pour la 1 et pour la 2 tu ferais comment ?

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Tu envisagerais un changement de variable ?

Zebulor

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Re : Limite

re,
Roro est parti mais intuitivement j'abonderais dans son sens

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Je ne vois pas comment faire

Roro

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Re : Limite

Re-bonjour,

Un changement de variable : lorsqu'on voit l'hypothèse $f(a+b-x)=f(x)$, ça devrait un peu sauter au yeux ?
Essaye $y=a+b-x$...

Roro.

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Non mais je ne comprends pas la méthode qu'il faut utiliser ici

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Même avec ce changement de variable, je ne vois pas où ca va me mener

Roro

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Re : Limite

Tu dois calculer $I = \int_a^b xf(x)\, \mathrm dx$.
Qu'est ce que ça donne lorsque tu fais le changement de variable $x=a+b-y$ ?

Roro.

Arthuroua

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Re : Limite

Intégrale de a à a+b-y de (a+b-y)f(a+b-y)

Arthuroua

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Re : Limite

Non je dis n'importe quoi attends

Roro

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Re : Limite

oui, mais tu sais que $f(a+b-y)=f(y)$ et tu devrais retrouver $I="Truc"-I$...
Roro.

P.S. Si tu pouvais taper tes formules en latex ce serait bien plus lisible...

Arthuroua

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Re : Limite

Intégrale de x-b+y à x+y-a de (a+b-y)f(a+b-y)

Arthuroua

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Re : Limite

Je sais pas écrire en Latex, et je crois que je me suis perdu là

Arthuroua

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Re : Limite

Quand je fais mon changement de variable je dois aussi modifier les bornes ?

Roro

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Re : Limite

Là, il va falloir revoir ton cours sur le changement de variable... http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … gtvar.html

Roro.

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Je sais faire un changement de variable avec des valeurs mais là on a A et B donc je ne sais pas si je dois changer les bornes

Roro

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Re : Limite

Bien entendu qu'il faut changer les bornes, il faut que tu regardes le lien que je t'ai indiqué, et l'appliqué dans ton cas.

En posant $y=a+b-x$, lorsque $x$ vaut $a$, alors $y$ vaut $b$, et lorsque $x$ vaut $b$, alors $y$ vaut $a$. Autrement dit, le changement va "inverser" les bornes...

Roro.

Arthuroua

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Re : Limite

Ca donnerait intégrale de b à a de (a+b-y)f(y) ? Ca me parait bizarre

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Tu peux me montrer un correction tout en m'expliquant stp ?

Roro

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Re : Limite

Ca donnerait intégrale de b à a de (a+b-y)f(y) ? Ca me parait bizarre

Non, il faut aussi faire attention à dx qui devient -dy.
Je ne te fais pas la correction car tu vas y arriver. Pour l'instant tu as :
$$I=\int_a^b xf(x)\, \mathrm dx = -\int_b^a (a+b-y)f(y)\, \mathrm dy.$$
Sais-tu que, de manière générale, $\int_a^b G = -\int_b^a G$, et que $\int_a^b (F+G) = \int_a^b F+\int_a^b G$ ?
Je te laisse deviner la suite...
Roro.

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Je remet l'intégrale de droite dans sa version positive en inversant les bornes. Je développe (a+b-y)f(y) et je coupe en 3 intégrales, j'ai donc :

a*intégrale de a à b de f(y) + b*intégrale de a à b de f(y) + intégrale de a à b de yf(y)

Arthuroua

Invité

Re : Limite

Pardon c'est :

a*intégrale de a à b de f(y) + b*intégrale de a à b de f(y) - intégrale de a à b de yf(y)