Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Free13

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Matrice transposée et dimension

Bonjour à tous !!

Je cherche à comprendre pourquoi ce qui suit est vrai :

Soit A une matrice de taille m x n telle que Ax = b possède au moins une solution pour tout choix de b appartenant à Rm

Alors il est toujours vrai que AT.y = 0 possède une solution unique

Avec AT la matrice transposée

Je ne comprends pas du tout comment cela peut etre vrai.

Merci d'avance pour votre aide !

F

Fred

Administrateur

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Re : Matrice transposée et dimension

Salut,

  Joli exercice! Il faut raisonner en termes de rang de matrice.
Ton hypothèse te dit que $\textrm{rg}(A)= m$ puisque si tu vois $A$ comme une application linéaire de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^m$, alors l'image de $A$ est $\mathbb R^m$. Une matrice et sa transposée ont même rang. Donc $\textrm{rg}(A^T)=m$.
Maintenant, je te laisse utiliser le théorème du rang pour vérifier que le noyau de $A^T$ est réduit à $\{0\}$.

F.

Free13

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Re : Matrice transposée et dimension

Oh d'accord merci beaucoup j'ai compris !