Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Azerty123j

Membre

Inscription : 09-11-2020

Messages : 9

Intégrale de Riemann et accroissement fini

Bonjour, j'ai un problème pour un exercice sur les intégrales de Riemann.
J'ai épluché tout mes cours, sans trouver de réponses et beaucoup cherché par moi-même mais rien de bien concluant n'en découle.
Voilà l'énoncé de l'exercice + celui de la question:

Enoncé: "Soit f une application de [a, b] dans R, de classe C1
Pour tout entier n ≥ 1, on considère la subdivision régulière ak = a + (b − a)k/n, pour k de 0 à n, et les applications g et h de [a, b] dans R, en escalier, définies par g(x) = f(ak) pour x ∈ [ak, ak+1[ (k de 0 à n−1) et g(b) = f(b) d’une part, et h(a) = f(a) et h(x) = f(ak) pour x ∈ ]ak−1, ak] (k de 1 à n)."

Question: "On pose M = supx∈[a,b]|f'(x)|. Montrer, à l’aide du théorème des accroissements finis, que
max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n pour tout x ∈ [a, b]."

Je supose que cela a un lien avec l'inégalités des accroissements finis et peut-être aussi avec cette relation:  (Intégrale de a à b de:(hn − gn)(x) dx) = (b − a)(f(b) − f(a))/n

Aidez moi !

(Je tiens également à préciser qu'il s'agit de la première question, il n'y a rien avant)

Dernière modification par Azerty123j (09-11-2020 21:17:39)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Bonjour,

  Sauf si $x=b$, $x$ est dans un intervalle $[a_k,a_{k+1}[$. Tu as alors $|f(x)-g(x)|=|f(x)-f(a_k)|$ et là tu peux appliquer facilement l'inégalité des accroissements finis.

F.

Azerty123j

Membre

Inscription : 09-11-2020

Messages : 9

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Merci beaucoup pour votre réponse très rapide ! Mais il me reste une zone d'ombre.

Normalement en appliquant le théorème des accroissement fini, j'obtiens :"|f(b) − f(a)|) ≤ M(b − a)", dans le cadre de l'exercice cela donne: "|f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)" mais malheureusement  je ne retrouve par le "/n" du membre de droite et je ne comprends pas non plus d'où viens le "max" du membre de gauche ? Si vous pouviez m'éclairer !

Encore merci pour votre réponse aussi rapide !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Demande-toi entre quels points tu appliques le théorème des accroissements finis. Ce n'est pas entre $a$ et $b$!!!

Azerty123j

Membre

Inscription : 09-11-2020

Messages : 9

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Désolé mais je ne vois pas où vous voulez en venir... je suis vraiment perdu j'ai besoin d'explication !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Tu veux majorer $|f(x)-f(a_k)|$ donc tu appliques l'inégalité des accroissements finis à $f$ entre $x$ et $a_k$.

Azerty123j

Membre

Inscription : 09-11-2020

Messages : 9

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

En appliquant l'inégalité de l'accroissement fini j'obtiens cela: "|f(x) − g(x)| ≤ M(b − a)" avec "|f(x) − g(x)|=|f(x) − f(ak)|", c'est bien cela ?

Mais je ne retrouve pas l'expression : "max(|f(x) − g(x)|, |f(x) − h(x)|) ≤ M(b − a)/n"
Je crois qu'il me manque quelque chose et j'ai beau chercher depuis hier et relire mes cours, je ne comprends pas d'où cela vient, Fred aidez-moi ! :)

Je n'ai toujours pas compris...

sokhna

Invité

Re : Intégrale de Riemann et accroissement fini

Pour la partie de droitre on l'a en appliquant l'inégalité des a.f sur l'intervalle [ak, ak+1] .
ça fait |f(ak+1)-f(ak)| ≤M|(ak+1 - ak )| , M = supx∈[a,b]|f'(x)| ; or ak+1 -ak c'est le pas de subdivision qui est aussi (b-a)/n ,
donc |f(ak+1)-f(ak)| ≤M|(b-a)/n|
Pour la suite j'ai essayé d'utiliser g(x) = f(ak) pour x ∈ [ak, ak+1[ , et  h(x) = f(ak) pour x ∈ ]ak−1, ak] mais je suis pas très sûre de la démarche pour cette partie , si quelqu'un peut aider s'il vous plaît .