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Wenrak2002

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Egalité complexe à établir

Bonjour ou bonsoir,

je cherche à établir l'égalité suivante pour [tex]n \geq 2[/tex]:

$\prod\limits_{k=1}^{n-1} ( 1 - e^{\frac{2k\pi}{n} i} ) = 2^{n-1} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}$

J'ai tenté pas mal de choses, comme la formule d'Euler en partant de la partie de droite. J'ai aussi tenté de l'exponentielle par la forme cos + i sin mais je n'arrive pas au résultat.

Merci de votre aide

Dernière modification par Wenrak2002 (07-11-2020 23:15:23)

mourad.t

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Re : Egalité complexe à établir

Bonjour,

j'utilise la formule d'Euler :

[tex]\prod \limits_{k=1}^{n-1}(1-e^{\frac{2k\pi}{n}i})[/tex][tex]{=}\prod \limits_{k=1}^{n-1}  {e^{\frac{k\pi}{n}i}(e^{{-}\frac{k\pi}{n}i}-e^{\frac{k\pi}{n}i})}[/tex][tex]{=}\prod \limits_{k=1}^{n-1}  {{-}e^{\frac{k\pi}{n}i}(e^{\frac{k\pi}{n}i}-e^{{-}\frac{k\pi}{n}i})}[/tex][tex]{=}\prod \limits_{k=1}^{n-1}  {{-}e^{\frac{k\pi}{n}i}(2i \times sin(\frac{k\pi}{n}))}[/tex]
[tex]{=}\prod \limits_{k=1}^{n-1}  {e^{\frac{k\pi}{n}i}(2({-}i) \times sin(\frac{k\pi}{n}))}[/tex]              [tex][-i=\frac{1}{i}][/tex]
[tex]{=}\prod \limits_{k=1}^{n-1}  {((\frac{e^{\frac{k\pi}{n}i}}{i})(2)sin(\frac{k\pi}{n}))}[/tex]
[tex]{=}\biggl(\prod \limits_{k=1}^{n-1} {   \frac{e^{\frac{k\pi}{n}i}}{i}  } \biggr)  \times\, \biggl(  \prod \limits_{k=1}^{n-1} {2} \biggr)
\times\, \biggl(  \prod \limits_{k=1}^{n-1} {sin(\frac{k\pi}{n})}  \biggr) [/tex]
[tex]{=}\biggl(\prod \limits_{k=1}^{n-1} {   \frac{e^{\frac{k\pi}{n}i}}{i}  }\biggr) \times\,2^{n-1} \times\,\prod \limits_{k=1}^{n-1} {sin(\frac{k\pi}{n})}[/tex]

maintenant il faut montrer que [tex]\prod \limits_{k=1}^{n-1} {   \frac{e^{\frac{k\pi}{n}i}}{i}  }[/tex] égale a 1
[tex]\prod \limits_{k=1}^{n-1} {   \frac{e^{\frac{k\pi}{n}i}}{i}  }[/tex][tex]{=}\frac{1}{i^{n-1}}\prod \limits_{k=1}^{n-1} {e^{\frac{k\pi}{n}i}  }[/tex][tex]{=}\frac{1}{i^{n-1}}{e^{\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{k\pi}{n}i}  }[/tex][tex]{=}\frac{1}{i^{n-1}}{e^{{\frac{\pi}{n}i}\sum\limits_{k=1}^{n-1}{k}}  }[/tex][tex]{=}\frac{1}{e^{  \frac{\pi}{2}i(n-1)  }}{e^{{\frac{\pi}{n}i}\frac{(n-1)n}{2}}  }[/tex][tex]{=}\frac{1}{e^{  \frac{\pi}{2}i(n-1)  }}{e^{{\frac{\pi}{2}i}(n-1)}  }[/tex][tex]{=}1[/tex]

Wenrak2002

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Re : Egalité complexe à établir

Merci pour ta réponse claire et rapide