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alexP0

Invité

DM Proba stat

Bonjour à tous,

j'ai un DM de Proba à rendre et je galère sur cet exercice, je suis bloqué dès le début.
SVP si quelqu'un pourrait m'aider :( :( :(

Exercice :

Soit X une variable aléatoire réelle intégrable, et m une médiane de X. Pour y ∈ R, on pose φ_y : R → R+, x → φ_y(x) = |x − y|.

1. Tracer le graphe de la fonction φ_y − φ_m

2. Montrer que, pour y ≥ m, φ_y − φ_m ≥ (y − m)(indicatrice]−∞,m] − indicatrice]m,+∞[),
  et pour y ≤ m, φ_y − φ_m ≥ (m − y)(−indicatrice]−∞,m[ + indicatrice[m,+∞[).

3. En déduire que : y → E[|X − y|]  admet un minimum global en m.

4. En déduire que si m1 et m2 sont deux médianes de X alors
                                                E[|X − m_1|] = E[|X − m_2|]

Fred

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Re : DM Proba stat

Bonjour,

  Je vais commencer par t'aider pour la première question. On va supposer que $y\geq m$.
Le plus simple est d'exprimer $\varphi_y-\varphi_m$ sans les valeurs absolues. Ce n'est possible que sur des intervalles.
Donc à quoi est égale $\varphi_y-\varphi_m$ sur
* $]-\infty,m[$ ?
* $[m,y]$ ?
* $]y,+\infty[$ ?

F.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Bonjour,

  Je vais commencer par t'aider pour la première question. On va supposer que $y\geq m$.
Le plus simple est d'exprimer $\varphi_y-\varphi_m$ sans les valeurs absolues. Ce n'est possible que sur des intervalles.
Donc à quoi est égale $\varphi_y-\varphi_m$ sur
* $]-\infty,m[$ ?
* $[m,y]$ ?
* $]y,+\infty[$ ?

F.

je serai tenter de dire :

* $]-\infty,m[$ : -(m+y)
* $[m,y]$ : m-y
* $]y,+\infty[$ : y-m

Fred

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Re : DM Proba stat

Euh.... Ca m'étonnerait qu'il n'y ait pas de x quelque part......

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Euh.... Ca m'étonnerait qu'il n'y ait pas de x quelque part......

euh j'avoue que c vrai mais je n'ai vraiment aucune idée comment y proceder

Fred

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Re : DM Proba stat

Il faut y aller en douceur : à quoi est égal $\varphi_y(x)=|x-y|$ suivant la position de $x$ par rapport à $y$????
(sans valeur absolue, bien sûr).

F.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Il faut y aller en douceur : à quoi est égal $\varphi_y(x)=|x-y|$ suivant la position de $x$ par rapport à $y$????
(sans valeur absolue, bien sûr).

F.

si x<y : |x-y| = -(x-y)
si x>y : |x-y| = x-y
sinon 0

Fred

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Re : DM Proba stat

Tu fais pareil avec $\varphi_m(x)$, puis tu fais la différence en distinguant les 3 cas.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Tu fais pareil avec $\varphi_m(x)$, puis tu fais la différence en distinguant les 3 cas.

si x<y : |x-y| = -(x-y)
si x>y : |x-y| = x-y
sinon 0

si x<m : |x-m| = -(x-m)
si x>m : |x-m| = x-m
sinon 0

si x<m et x<y : φ_y-φ_m = y-m
               x>y : φ_y-φ_m = 2x -y +m
si x>m et x<y : φ_y-φ_m = -2x + y + m
               x>y : φ_y-φ_m = m-y

sinon 0

mais je ne vois pas comment relier ça avec les intervalles que vous avez définis un peu plus haut

Fred

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Re : DM Proba stat

Pour arriver à quelque chose, on est obligé de supposer (par exemple) que $y\geq m$.
Dans ce cas, tu n'as plus que les 3 intervalles que je signalais...

F.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Pour arriver à quelque chose, on est obligé de supposer (par exemple) que $y\geq m$.
Dans ce cas, tu n'as plus que les 3 intervalles que je signalais...

F.

D'accord, merci.
Et pour la 2 vous avez des pistes? cet exercice me rend fou

Fred

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Re : DM Proba stat

Peut-être que sur le même graphe que celui que tu as fait à la question 1. tu devrais tracer le graphe de (y − m)(indicatrice]−∞,m] − indicatrice]m,+∞[)

F.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Peut-être que sur le même graphe que celui que tu as fait à la question 1. tu devrais tracer le graphe de (y − m)(indicatrice]−∞,m] − indicatrice]m,+∞[)

F.

Généralement quand on dit de montrer quelque chose faut construire une démonstration et ne pas se contenter de tracer non?

Fred

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Re : DM Proba stat

Oui, mais le fait de tracer et d'avoir la vision géométrique de ce que tu fais peut t'aider à démontrer les choses - tu vois mieux ce qu'il faut faire.
Moi, en général, quand je fais un exercice de géométrie, je fais une figure, je ne me contente pas des données de l'énoncé. Là, à la lecture de la question, je n'ai aucune idée de savoir comment faire. J'ai besoin de représenter le dessin de cette fonction pour comprendre comment elle est faite et ensuite avoir une idée de la démonstration.

alexP0

Invité

Re : DM Proba stat

Oui, mais le fait de tracer et d'avoir la vision géométrique de ce que tu fais peut t'aider à démontrer les choses - tu vois mieux ce qu'il faut faire.
Moi, en général, quand je fais un exercice de géométrie, je fais une figure, je ne me contente pas des données de l'énoncé. Là, à la lecture de la question, je n'ai aucune idée de savoir comment faire. J'ai besoin de représenter le dessin de cette fonction pour comprendre comment elle est faite et ensuite avoir une idée de la démonstration.

D'accord, je vais essayer ça. Merci!