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yassinos

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Correction et interprétation d'un résultat de problème

Bonjour, j'ai mal à résoudre cet exercice: Pour tout entier naturel n :Dire ci n^4  +1 est un nombre premier ou non. Justifier
Voilà je connais que si n^4 est impair et supérieur ou égal à 2 alors n^4  + 1 n'est pas premier . Si n est comris entre 0  et 2 alors n^4 +1 est premier, mais comment prouver que n^4 + 1 est premier  si n est supérieur à 2 et n est pair.
En attendant une réponse, bonne chance à tout le monde.
Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Correction et interprétation d'un résultat de problème

Bonsoir,

Pour tout entier naturel n : Dire si n^4  +1 est un nombre premier ou non. Justifier

L'énoncé de ton exercice est-il limité à cette seule ligne ?
J'ai cherché une dizaine de minutes et ça m'a paru suffisamment louche pour que je te pose la question (et j'ai une autre bonne raison de te la poser)...

@+

Matou

Invité

Re : Correction et interprétation d'un résultat de problème

Bonjour,

$6^4+1$ est premier.
mais $8^4+1=17 \times 241$.

Es-tu sûr de ton énoncé ?

Sauf erreur.

Cordialement

Matou

yoshi

Modo Ferox

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Re : Correction et interprétation d'un résultat de problème

Re,

@matou
J'avais zappé le 8 et testé 4, 6, 16...

Non pas d'erreur $8^4=2^{12}=4096$ donc 4096+1=4097.
Et $4097 = 17 \times 241$ n'est pas premier.
Mais le sujet dit

Pour tout entier naturel n : Dire si n^4  +1 est un nombre premier ou non. Justifier

Sujet bizarre tellement la réponse est simple : il y a là  un contre-exemple qui prouve sans fatigue que la réponse est non.
$4^n+1,\; n \in \mathbb N \text{ et n pair}$ n'est pas toujours un nombre premier.

Et j'avais ensuite trouvé un énoncé de Bac avec 9 questions et 2 pages de solution autour de $n^4+1$ et qui a pour objet l'étude de ses diviseurs premiers primalité...

@+

Black Jack

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Re : Correction et interprétation d'un résultat de problème

Bonjour,

La question est ambiguë.

Si cela revient à  ":Dire ci n^4  +1 est TOUJOURS un nombre premier ou non." ... la réponse est évidente.

Si cela revient à "Trouver tous les n pour lesquels n^4+1 est premier" C'est une autre affaire.
"Trouver tous les n" ne signifiant évidemment pas les citer, mais trouver les caractéristiques des ensembles d'entiers tels que ...
---------
Dans la 2ème hypothèse (probablement pas la bonne), amorce incomplète de réflexion : Et pas forcément au niveau (collège-lycée), juste pour le fun.

Si n = 0 --> N = n^4 + 1 = 1 et donc pas premier
Si n = 1 --> N = n^4 + 1 = 2 et donc premier

Pour n > 1 :

a) Si n est impair, n^4 est impair et n^4 + 1 est pair (et > 2) --> N = n^4 + 1 n'est pas premier

b)
Il reste donc à traiter n pair (et > 1)
On a alors n = 2k (avec k dans N*)

et donc N = n^4 + 1 = (2k)^4 + 1 = 16k^4 + 1
******
Avec n = 2k, N = 16k^4 + 1

Si k = 1 + 17.k' ou k = 4 + 17k' ou k = 13 + 17k' ou k = 16 + 17k', alors N est multiple de 17
et si N > 17, alors N n'est pas premier.
et si N <= 17, alors N est premier.

Démo pour k = 1 + 17k' (pareil pour les autres cas)
k^4 = 1 + 17^4.k'^4 + 34²k'² + 2*17²k'² + 2*34k' + 34*17²k'³
16k^4 + 1 = 1 + 16* (1 + 17^4.k'^4 + 34²k' + 2*17²k'² + 2*34k' + 34*17²k'³) = 17 + 16*(17^4.k'^4 + 34²k'² + 2*17²k'² + 2*34k' + 34*17²k'³)) ... est multiple de 17
*****
Reste à traiter les cas pour n = 2k avec k = (0 ou 2 ou 3 ou (5 à 12) ou 14 ou 15) + 17.k'
... qui ne sont pas multiples de 17, mais pourraient bien l'être d'un autre nombre ????
Pas le courage de poursuivre.
Reste à traiter les cas pour n = 2k avec k = (0 ou 2 ou 3 ou (5 à 12) ou 14 ou 15) + 17.k'
... qui ne sont pas multiples de 17, mais pourraient bien l'être d'un autre nombre ????
Pas le courage de poursuivre.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Correction et interprétation d'un résultat de problème

Re,

Voilà le sujet (de fort belle tenue) que j'ai évoqué :

Pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on pose
                                          $A(n)=n^4+1$
L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de $A(n)$

1.a) Etudier la parité de l'entier $A(11)$
   b) Montrer que, quel que soit l'entier $n$, $A(n)$ n'est pas un multiple de 3.
   c) Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$.
   d) Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ :
                                          $n^8+1 \equiv 0 \text{ modulo } d$
2. Recherche de critères.
    Soit $d$ un diviseur de $A(n$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que :
                                          $n^k\equiv 0\quad[d]$
    a) Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$.
    b) En déduire que $s$ est un diviseur de 8.
    c) Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d-1$.
        On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
3. Recherche des diviseurs de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair.
    Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$.
    En examinant successivement les cas $s = 1$, $s=2$ puis $s=4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo 8.
4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
    Appliquer ce qui précède aux diviseurs de $A(12)$.
    Indication : la liste des nombre premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137...

Si quelqu'un veut s'amuser...

@+