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bridgslam

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quelques bons exercices niveau MPSI pour s'y remettre en douceur

Bonjour,

On s'ennuie parfois le W-E ?
Voici quelques exercices amusants sur différents thèmes,
J'ai apposé une étoile (*) à ceux demandant un peu de recherche:

Dénombrement:

Si E est fini, combien y a-t-il de fonctions f idempotentes sur E ( fof =f )?
De combien de façons peut-on placer p TOURS sur un échiquier n x n  sans menaces mutuelles ?
Plus délicat évidemment pour les cavaliers...

Quelle est la somme des nombres obtenus par permutations lorsqu'on permute les chiffres d'un entier de n chiffres quelconques ? (*)

Algèbre ( anneaux ):

Si (A, +,x )  est un anneau tel  que la fonction carré est un morphisme surjectif pour l'addition, A est commutatif.

Arithmétique (*):

Soit n un entier naturel non nul. La moyenne du nombre de diviseurs des entiers inférieurs à n est toujours à moins d'une unité de la somme de leurs inverses (*)

Bon entrainement et bonne chance.
Alain

Guypaterne

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Re : quelques bons exercices niveau MPSI pour s'y remettre en douceur

Bonsoir,

Voici un exercice d'analyse sur *études de fonctions*

Soit A et B des parties non vides de R, on définit :
A+B = { x+y; ( x;y) € A×B }

1) on suppose A et B sont majorées.
Montrer que sup ( A+B ) = sup(A) + sup(B)

2) On suppose A et B sont minorées.
Montrer que inf( A+B) = inf(A) + inf( B)

bridgslam

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Re : quelques bons exercices niveau MPSI pour s'y remettre en douceur

Bonjour,

Je ne vois pas vraiment le rapport avec le début de la discussion, ni la parenté avec "étude de fonctions".
A la rigueur A -> sup (A ) et A -> inf (B) sont des fonctions quand cela a un sens, sans plus, ce qui les rend
linéaires de l'ensemble des parties non vides majorées ( resp. minorées de R ) muni de l'addition, dans (R,+).
Pour compléter ( associativité des sup ), étant donnée une famille quelconque de parties A(i) d'un ensemble ordonné E quelconque,
qui possèdent chacune un sup(i) dans E, montrer que la réunion de la famille a un sup S ssi sup( sup(i) ) existe et alors
S = sup sup (i).
Ca a plein d'applications.

Alain