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Julie876

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DM La méthode de Héron pour la racine cubique

Bonsoir,

Edité par Yoshi Modérateur
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Le but de généraliser la méthode de Héron (vu pour la racine carré) pour fournir une approximation de la racine cubique d'un nombre, solution de l'équation x^3=a.
Dans l'espace x^3 correspond au volume d'un cube d'arête x.
La méthode de Héron: En mathématiques, la méthode de Héron ou méthode babylonienne est une méthode efficace d'extraction de racine carrée, c'est-à-dire de résolution de l'équation x^2 = a, avec a positif.

J'ai réussi a résoudre la question une qui est "Quel doit être la valeur de y₀ (en fonction de x₀) pour que le volume du pavé soit égal à a. J'ai trouvé y₀=racine carré de a/x₀
J'aurais besoin d'aide pour la 2:
Comme pour la racine carré, pour que le pavé droit se "rapproche" d'un cube on va prendre pour x₁,  la moyenne des 3 arêtes du pavé précédent, donne la valeur de x1 en fonction de x₀
Comme pour la racine carré, en itérant indéfiniment le processus, on transforme petit à petit le pavé en cube de même volume.
Merci d'avance

Dernière modification par yoshi (13-10-2020 20:21:04)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM La méthode de Héron pour la racine cubique

Bonsoir,

Encore une qui pense que manger à plusieurs râteliers est bien...
Grosse erreur : c'est très mal vu.
https://www.ilemaths.net/sujet-la-metho … 55389.html
Là-bas, c'est même inscrit dans leur règlement.
Dès demain matin, je vais aller leur signaler et que crois-tu qu'il va se passer ?
La même chose qu'ici : ton sujet sera fermé !

Et à vouloir jouer sur deux tableaux, tu auras perdu des deux côtés...

       Yoshi
- Modérateur -

[EDIT]
Mon intervention n'a même pas eu lieu d'être : ta demande multisite a été repérée sans moi, et ainsi que je l'avais prédit, tu as joué et perdu...

Dernière modification par yoshi (14-10-2020 07:44:09)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM La méthode de Héron pour la racine cubique

Bonjour,

Le sujet intéressant et en le relisant, j'ai pu constater que l'énoncé était incomplet.
Je le rouvre.
A corriger comme suit.
Q1 Le pavé droit a une base carrée de côté de longueur $x_0$ et de hauteur $y_0$.
     Son volume a s'écrit donc ainsi : $a = x_0^2\times y_0$
     D'où il appert que $y_0=\dfrac{a}{x_0^2}$
     Pas de racine carrée donc...
Q2 La moyenne $x_1$ des 3 côtés du nouveau pavé sera donc 
     $x_1=\dfrac{x_0+x_0+y_0}{3}=\dfrac{2x_0+\dfrac{a}{x_0^2}}{3}$
   
     Soit la suite $(u_n)$ :
     $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+\dfrac{a}{u_n^2}}{3}$ qui tend vers $\sqrt[3]{a}$ quand n tend vers $+\infty$
     
Je viens de l'implémenter en Python et via le module décimal, la racine cubique de 40 en prenant comme premier terme u=40//3 (quotien entier de 40 par 3) on peut sûrement mieux optimiser ça).
150 décimales demandées, j'obtiens en 11 itérations :

3.419951893353393978706217745087720219736110221086109848765723414888591841008346432514374020040378004409006578780908036174395153293601570749427787788830

@+

[EDIT] Mieux optimiser : oui et c'est souhaitable... En donnant u=D(3) au départ, on "économise" 3 itérations : 8 au lieu de 11.
J'y travaille.

Dernière modification par yoshi (05-01-2021 09:25:40)