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fabrice

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Inscription : 05-01-2008

Messages : 4

exercice sur PGCD [Résolu]

Bonjour,

A=n-1    B=n²-3n+6

1°) Démontrer que PGCD(A,B)=PGCD(A,4)

     Alors jai dit que B=(n-2)A+4
     Si d divise A et B, il divise B et (n-2)A et donc la différence qui est 4. Donc d divise A et 4.
     Réciproquement, si d divise A et 4, il divise la somme (n-2)A+4=B. Donc d divise A et B.
     A et B ont les meme diviseurs communs que A et 4 donc PGCD(A,B)=PGCD(A,4).

     Est-ce que mon raisonnement est juste?

2°) Déterminez, selon les valeurs de l entier n, le PGCD de A et de B.

      Pour cette question je suis un peu coincé, il faut surment se servir du résultat trouvé à la question 1°) mais je ne vois trop quoi en faire.
      Si vous pouviez maider...
     Merci davance!

jeff

Invité

Re : exercice sur PGCD [Résolu]

Bonjour fabrice ,

ton raisonnment pour la première me paraît tout à fait juste.

Pour la seconde question on sait que si d divise A et B alors il divise A et 4 donc il divise 4.Les diviseurs de 4 sont 1,2 et 4.
n peut s'écrire sous la forme 4p,4p+1,4p+2 ou 4p+3 avec p un entier.
Si d=4 alors A est un multiple de 4 donc 4 divise n-1.Seul n=4p+1 convient.
Si d=2 A est un multiple de 2 mais pas de 4...
Si d=1 A est impair...

jeff

Invité

Re : exercice sur PGCD [Résolu]

Bonsoir fabrice,

dans mon premier message j'ai exprimé n en fonction de d mais si tu veux d en fonction de n où d=PGCD(A,B) il faut écrire n sous la forme 4p,4p+1,4p+2 ou 4p+3 avec p un entier.

Si n=4p ou 4p+2 alors A est impair mais 4 est pair donc d=1.
Si n=4p+3 alors A=2(2p+1) est un multiple de 2 mais pas de 4 donc d=2.
Si n=4p+1 alors A est un multiple de 4 et donc d=4.

Il faut bien sûr utiliser le fait que si d=PGCD(A,B) alors d=PGCD(A,4) donc d divise 4.