Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jude

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DM sur équation diophantienne a rendre lundi [Résolu]

Bonsoir,

J'ai réussi plusieurs exos de mon DM seulement il m'en reste un dont j'ai vraiment du mal.
Je dois résoudre dans Z^3 l'équation diophantienne  1/x² + 1/xy + 1/y² = z
Je pense que le but est de mettre cette équation sous la forme ax+by=z
Mais je n'arrive pas supprimer ces carrés.

Fred

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Re : DM sur équation diophantienne a rendre lundi [Résolu]

Salut,

  Ce n'est peut-être pas cela qu'il faut faire. Si |x|>=2 et |y|>=2,
alors 1/x²<=1/4, 1/y²<=1/4 et |1/xy|<=1/4 aussi.
Autrement dit, la valeur absolue du terme de gauche est inférieure ou égale à 3/4.
Cela ne peut être un entier que si elle est nulle.
On a donc deux cas à étudier :
* ce qui se passe si |x|<=1 ou |y|<=1 (faire tous les cas).
* ce qui se passe si 1/x²+1/xy+1/y²=0 ie y²+xy+x²=0.
Dans ce dernier cas, tu obtiens (x+y/2)²+3y²/4=0 ce qui devrait
te donner très rapidement toutes les solutions.

Fred.

jude

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Re : DM sur équation diophantienne a rendre lundi [Résolu]

Merci Fred pour ta réponse.
Seulement je suis désolé mais je n'ai pas tout compris.
Pourquoi tu dis que ce ne peut être un entier que si elle est nulle ?
De plus, je n'arrive pas a résoudre l'équation finale...

cléopatre

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Re : DM sur équation diophantienne a rendre lundi [Résolu]

Bonjour Jude !

Cene peut etre que 0 car le seul entier dont sa valeur absolue est inférieur ou égale à 3/4 et 0. Après 1, 2, -1, 3... ont leurs valeurs absolues supérieures à 3/4.
Après on obtient ien comme te l'a dit Fred : y²+xy+x²=0 et tu remarques que c'est le début d'un carré comme l'a remarqué Fred. Maintenant, tu devrais peut etre t'en sortir.

Bises de Cléo

jude

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Re : DM sur équation diophantienne a rendre lundi [Résolu]

merci cléo c'est super gentil j'ai enfin compris!
bonne soirée