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w79exz73

Invité

Aide exercice d'analyse

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide pour un exercice :
Résoudre l’équation différentielle suivante avec les conditions initiales : y(0)=1 ,y'(0)=1 : y''-2y'+y=e^x x

J'ai réussi à trouver la solution générale (r-1)²=0 donc solution unique r=1 donc racine double : y=(At+B)e^t

Mais je n'arrive pas à trouver la solution particulière, j'ai fait (à partir de la je ne suis pas sûr):
q=ax²+bx+c
q'=2ax+b
q"=2a

J'ai m de e^mx qui vaut 1 (racine double de r donc deg q= 3?).

Ensuite je suis bloqué

merci d'avance

Fred

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Re : Aide exercice d'analyse

Bonjour,

  Oui, il faut que tu cherches une solution particulière sous la forme $y(x)=q(x)e^x$, où $q$ est de degré 3.
Donc tu poses $y(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x$, tu dérives deux fois, tu introduis dans l'équation, et tu trouves un système en a,b,c,d à résoudre.
Bon courage pour les calculs!

Fred.

w79exz73

Invité

Re : Aide exercice d'analyse

Bonjour,

  Oui, il faut que tu cherches une solution particulière sous la forme $y(x)=q(x)e^x$, où $q$ est de degré 3.
Donc tu poses $y(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)e^x$, tu dérives deux fois, tu introduis dans l'équation, et tu trouves un système en a,b,c,d à résoudre.
Bon courage pour les calculs!

Fred.

Si je prend comme solution particulière : y=ax^3e^x , sa marche?

y'=ax^3e^x+3ax²e^x
y''=ax^3e^x+6axe^x+6ax²e^x

x.e^x = (ax^3e^x)-2(ax^3e^x+3ax²e^x)+(ax^3e^x+6axe^x+6ax²e^x)

je met en facteur e^x sa donne xe^x=6axe^x donc a=1/6

Ce qui nous donne la solution particulière (x^3/6)e^x ?

w79exz73

Invité

Re : Aide exercice d'analyse

Solution générale : ((x^3)/6)e^x + (Ax+B)e^x
Donc y(0)=B=1
y'=((18x²e^x+6x^3e^x)/6²)+Ae^x+(Ax+B)e^x
Donc y'(0)=A+B=1
A=0

Donc la solution : y=((x^3e^x)/6)+e^x

C'est bien ça?

Fred

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Re : Aide exercice d'analyse

Ca a l'air d'être cela (mais je n'ai pas vérifié tous les calculs).

F.

w79exz73

Invité

Re : Aide exercice d'analyse

Il y a une chose que j'ai pas comprit pourquoi on peut remplacer (ax^3+bx²+cx+d)e^x par juste ax^3e^x?

Fred

Administrateur

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Re : Aide exercice d'analyse

En général, on ne peut pas. Ici tu as de la chance que cela fonctionne!!!