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pauline_mrq

Invité

petit problème amusant mais qui me pose problème !

Bonjour à tous, chers fervents adeptes de mathématiques,
J'espère de tout coeur que vous vous portez à merveille.

Si j'écris ce petit post, c'est pour vous demander de l'aide sur un petit problème. Je précise que je suis en 1e spé maths mais que le problème est du niveau de l'agrégation. C'est donc pour cela que je viens ici et que certaines connaissances peuvent me manquer.

Bon, trêve de bla-bla, passons aux choses un petit peu plus sérieuses !

Voilà mon problème et quelques informations (en PJ). Pour le résoudre, il me faudrait, tout d'abord l'équation d'une tangente à l'ellipse. Est-ce que vous connaitriez sa formule ? Sinon, peut-être que vous pourriez m'aider dans mon raisonnement. Le voici (j'ai copié-collé le mail que j'ai envoyé à mon prof. Je vous met aussi ses questions visant à m'orienter) :

MOI : En connaissant les deux points précédents le 3e point d’impact, nous arrivons à avoir les coordonnées du 3e point d’impact. Comme le rayon suivant se construit en étant symétrique à la normale à l’ellipse, il faut calculer l’équation de cette droite normale puis, grâce aux angles, trouver les coordonnées du vecteur du 4e rayon puis le prochain point d’impact (intersection ellipse et droite du vecteur). De proche-en-proche, nous arriverons à savoir combien de points d’impacts ont été nécessaires pour que le rayon laser ressorte.

GENTIL PROF : Peux-tu réfléchir maintenant à ce qu'on appelle normale à l'ellipse en un point et comment nous pourrons déterminer les équations de ces normales ?

MOI (qui commence à galèrer) : Premièrement, pour ce qu’on appelle la normale à l’ellipse en un point, je dirais que c’est la normale à la tangente de l’ellipse en ce point. Tangente dont le coefficient directeur serait égal à la dérivée de l’ellipse en ce point.
Ensuite, pour déterminer les équations de ces normales, nous pouvons utiliser les propriétés orthogonales du produit scalaire. Si nous remplaçons la tangente et sa normale par deux vecteurs directeurs, respectivement d et d’ de coordonnées d(x ; y) et d’(x’; y’), nous savons que pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux, il faudrait que xx’ + yy’ = 0.
Comme nous devrions connaitre x et y, les coordonnées de la tangente à l’ellipse, une équation devrait nous permettre de trouver x’ et y’.

PROF QUI COMMENCE A ME JETER DANS LE GRAND BAIN : Tu feras juste attention au fait que le rayon ne ressort pas forcément par P_0. Il ressort par la petite ouverture, dont la taille est précisée.

Et les pièces jointes avec le sujet en lien dropbox : Lien vers les sujets

J'espère que ça ira ! Merci d'avance.

Pauline

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : petit problème amusant mais qui me pose problème !

Bonjour,

  Pour étudier la tangente en un point de l'ellipse, tu peux te ramener à tes connaissances de 1ère de la façon suivante : normalement, tu sais déterminer la tangente en un point $(x_0,y_0)$ d'une courbe du type $y=f(x)$, en utilisant la dérivée de $f$ en $x_0$.

Ici, ton ellipse a pour équation $4x^2+y^2=100$. Si tu te limites au demi-plan des points d'ordonnée positive, l'équation peut aussi s'écrire $y=\sqrt{4-x^2}$. Donc tu es dans le cas précédent avec $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. J'ai un doute : est-ce qu'on sait dériver une telle fonction en première?
Pour le demi-plan des points d'ordonnée négative, l'équation devient $y=-\sqrt{4-x^2}$, et là encore tu peux calculer la tangente par le résultat du cours.

Intéressant ton problème, mais pas facile du tout!!!

Fred.