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mimi

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récurrence et exponentielle [Résolu]

fo(x)=e^x
f1(x)=xe^x
f2(x)=x²e^x

Démontrer par récurrence que f1^(n)=nfo+f1        (cette puissance c'est la dérivée n-ieme)

On vérifie au rang n=1, egalité vérifiée

On suppose que Pn est vraie cad f1^(n)=nfo+f1
On veut montrer que Pn+1 est vraie cad f1^(n+1)=(n+1)fo+f1

Je dois faire quoi, calculez f1^(n+1) ?  J'ai toujours eu du mal avec les récurrences à ce moment là...

Pouvez-vous me donner de l'aide s'il vous plaît ?

Merci et bonne année

jeff

Invité

Re : récurrence et exponentielle [Résolu]

Bonsoir mimi,

tu dois bien calculer f1^(n+1) en remarquant que f1^(n+1)=(f1^n)' et que f1^n est donné par hypothèse de récurrence.
Ainsi f1^(n+1)=(nf0+f1)'=nf0+f1'=nf0+xe^x+e^x=(n+1)f0+f1.
La relation de récurrence est alors montrée au rang n+1.

mimi

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Re : récurrence et exponentielle [Résolu]

Merci beaucoup jeff tu m'a beaucoup aidé!!

La suite de mon exercice était de démontrer par récurrence que f2^(n)=n(n-1)fo+2nf1+f2
Grace a ton aide j'ai pu le faire sans probleme.

Mais ensuite on me demande de déduire de ces démonstrations la dérivée n-ieme de la fonction: f(x)=(2x²-3x)e^x
J'ai cherché pendant un bon bout de temps, je ne sais pas trop comment me servir des 2 démonstrations précédentes.
Certes on aura f(x)^(n)= ..... fo + ..... f1 + 2 f2
Par calcul au brouillon je trouve que c'est (4n-5)f1
Mais alors comment le trouver avec les 2 autres formules??  et qu'en est-il pour fo ??

Si ça te dit de continuer dans ta lancée! LOL   Je plaisante biensûr tu fais ce que tu veux!

Merci de votre aide

jeff

Invité

Re : récurrence et exponentielle [Résolu]

Bonjour mimi ,

il faut remarquer que f(x)=2f2(x)-3f1(x) et le fait que f(x)^n=(2f2(x)-3f1(x))^n=2f2(x)^n -3f1(x)^n donc en utilisant les 2 démonstrations précédentes on a
f(x)^n=2(n(n-1)f0+2nf1+f2)-3(nf0+f1)=2n²f0-5nfo+4nf1-3f1+2f2=n(2n-5)f0+(4n-3)f1+2f2.

mimi

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Re : récurrence et exponentielle [Résolu]

Je suis pas bien futé parce que ce n'était pas si dure que ça!
En tout cas merci beaucoup!