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Olivier Méndez

Invité

Transformé de la distribution valeur principale de Cauchy

Bonjour, considérons la distribution

[tex]f[ \phi ]= \displaystyle\lim_{\epsilon \to{+}0}{ \displaystyle \int_{|x|> \epsilon}^{} \frac{\phi(x)}{x} dx} [/tex]

Comment puis-je montrer que la transformée de Fourier de [tex]f[/tex] est [tex]c \cdot sgn (x)[/tex], où [tex]c[/tex] est une constante, en utilisant que la transformée est impaire et qu'elle est homogène de degré zéro? Ce n'est pas clair pour moi :( .
Salutations.

Fred

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Re : Transformé de la distribution valeur principale de Cauchy

Bonjour

  Une fonction homogène de degré 0 est constante sur R+ et sur R-. Puisque la fonction est impaire ces deux constantes sont opposées.

F.

Olivier Méndez

Invité

Re : Transformé de la distribution valeur principale de Cauchy

Salut Fred, merci pour ta réponse, désolé pour mon ignorance,  c'est clair pour moi quand la fonction est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] mais ici nous avons une distribution alors pourquoi le même argument fonctionne-t-il?
Salutations.

Fred

Administrateur

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Re : Transformé de la distribution valeur principale de Cauchy

Bonjour,

  Les distributions homogènes de degré $0$ sont celles qui vérifient $xT'=0$ (cf exercice 13 ici).
Il faudrait sans doute commencer par résoudre cette équation....

Fred.

Olivier Méndez

Invité

Re : Transformé de la distribution valeur principale de Cauchy

Merci beaucoup Fred! :)
Salutations.