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DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Oui exacte ! Avec une minoration on ne peut pas conclure si on compare avec une fonction divergente !

J'ai modifié le post #27 , bien évidemment qu'il n'y a pas les dt j'ai oublié de les enlever

Dernière modification par DavidBe (12-05-2020 11:26:06)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Je me disais que c'était un oubli..
En 0 : j'aurais tendance à écrire $\frac{sin(t^2)}{t^2} \sim \frac{sin(t)}{t}$ plutôt que "égal à"..
pour les fonctions ou les suites, l'égalité et l'équivalence ont des significations précises.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 11:53:15)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

D'accord avec votre avant dernier post et celui-là c'est claire maintenant pour la convergence de[tex] \int_{0}^{\infty }\frac{(1+t)^2 exp(-t)}{\sqrt (t)} dt[/tex]. Je vous remercie !

Je vais faire la dernière qui reste

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Bonsoir !

Pour la 4) que je rappelle [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1} dt[/tex]
Je ne vois qu'un problème en [tex]\infty[/tex]

Je dis donc que : [tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3 } = \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] (la fonction est positive)
Or [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{3-\alpha}}dt[/tex] est convergente ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha >2[/tex] (intégrale de Riemann)
Donc par le théoème de comparaison [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1} dt[/tex]  est convergente ssi [tex]\alpha >2[/tex]

Edit :  [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{3-\alpha}}dt[/tex] On aurait ici peut-être pu chercher une primitive. Je regarde cette piste demain.

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Bonjour,
ton idée d'utiliser le critère de Riemann est bonne mais tu ne le connais pas bien, il y a des imprécisions ou erreurs par étourderie et le résultat final est faux.
C'est bien de préciser la positivité, mais pour quelles valeurs de $t$ ? et logiquement elle devrait paraître dans une inégalité supplémentaire. Déjà commencer par préciser que la fonction est continue sur $]0;+\infty[$, (c'est bien un ouvert en 0 car $\alpha$ est à priori quelconque) ce qui permet de situer les points d'étude : $0$ et $+\infty$.
Tu peux profiter de ce que la fonction à intégrer est simple et tester le cas $\alpha=+1$ pour voir si tu as bon... Quel équivalent de cette fonction en l'infini pour ce cas là ?
Que penses tu de l'équivalent en $0$ de la fonction à intégrer lorsque $\alpha=-1$?
La fonction est simple mais cet exercice est assez riche..

Dernière modification par Zebulor (13-05-2020 09:24:16)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Bonjour,

Oui en voulant vérifier mon résultat avec les conditions que j'avais donné à [tex]\alpha[/tex] je me suis rendu compte aussi que c'était faux.
La fonction est positive lorsque [tex]t>0[/tex] mais je pensais que c'était clair que t soit positif.
Oui c'est vrai j'aurai pu aussi parler de sa continuité. Mais je comprends pas pourquoi en 0 elle n'est pas continue par que [tex]\alpha[/tex] est un réel est donc au dénominateur c'est 1 et au numérateur c'est un réel aussi... mais je dois pas voir un truc.
Si [tex]\alpha =1[/tex]  alors [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] et équivalent a [tex]\frac{t}{t^3}[/tex] en \+infini

Si [tex]\alpha=-1[/tex] alors c'est [tex]\frac{t^-1}{t^3 +1}[/tex]\sim [tex]\frac{1}{(t^3 +1)t}[/tex] en 0

Dernière modification par DavidBe (13-05-2020 09:52:24)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

re,
Beaucoup de choses.. je suis tatillon...
j'avais bien compris qu'implicitement tu pensais $t$ positif. Bien rédiger est un exercice difficile pour moi aussi parfois...
Idéalement çà donnerait : [tex]\forall t \gt 0, 0 \lt \frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3} = \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] (la fonction est positive).
Il faut bien préciser la positivité... parce que si tu prends $g(t)=-t^2$ ça ne marche plus.
Sur le fond tu n'as pas besoin de passer par ces inégalités car ce qui compte c 'est l'équivalent en l'infini avec le critère de Riemann. Elles sont une condition suffisante de convergence mais pas nécessaire...
Car tu peux tomber sur une fonction $h$ telle que : $h(t) \gt \frac{1}{t^3}$ pour certaines valeurs de $t$ positives, mais pour laquelle $\int_1^{+\infty}\,h(t),dt$ converge néanmoins.

Pour certaines valeurs de $\alpha$, la fonction à intégrer est continue sur $[0;+\infty[$. Mais quel soit $\alpha$, elle est continue sur $]0;+\infty[$ .. tu vois la subtilité ? l'analyse c est sans pitié..

Pour $\alpha=1$, oui .. et l'équivalent en l infinie est  $\frac{1}{t^2}$
Pour $\alpha=-1$, ton équivalent en 0 est donc $\frac{1}{t}$..
A toi de voir quelles sont les intégrales de référence et de conclure sur la nature de l'intégrale du 4 ans ces deux cas
je te renvoie à ceci : http://www.bibmath.net/formulaire/index … timpropres
au paragraphe intégrales de référence

Dernière modification par Zebulor (13-05-2020 10:32:48)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

je précise encore ce que tu me dis avoir du mal à voir :
Pour certaines valeurs de $\alpha$, la fonction à intégrer n'est continue que sur $]0;+\infty[$ ..

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Re,

Oui oui excusez-moi j'ai mal rédigé, c'est encore un exercice très dur pour moi de penser à tous et rien oublier en étant le plus juste mais je vous remercie de me faire progresser vers cette voie.

D'accord donc je vais préciser et montrer que ma fonction est bien positive.

Oui ! Je me rends compte maintenant de la subtilité ! Il faut se dire que $\alpha$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle.

Pour [tex]\alpha =1[/tex] en l'infinie on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t^2}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^2}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t}{t^3 +1}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha>1[/tex]

Pour [tex]\alpha =-1[/tex] en 0 on a vu que l'équivalent de [tex]\frac{t}{t^3 +1}[/tex] est [tex]\frac{1}{t}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemaan [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t}dt[/tex] diverge ([tex]\frac{1}{t}[/tex] est un cas limite)
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{0}^{1}\frac{t}{t^3 +1}[/tex] diverge.

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

re,
moi même je m'y perds..j'aurais du écrire :
Pour certaines valeurs de $\alpha$, la fonction à intégrer n'est continue que sur $]0;+\infty[$ (ouvert en 0) ou sur toute partie de cet ouvert...
Sinon c'est bon tu avances..
juste une erreur de frappe à la fin : par comparaison avec une intégrale de Riemann [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t(t^3 +1)}dt[/tex] diverge, si bien que pour cette valeur de $\alpha$ l'intégrale du 4 diverge.

Je te laisse continuer pour le cas plus général $\alpha$ quelconque..

Dernière modification par Zebulor (13-05-2020 14:41:50)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Oui  excusez moi pour cette erreur d'étourderie.

Finalement là je n'ai traité que deux possibilités de [tex]\alpha[/tex]

Maintenant si [tex]\alpha != 1[/tex] et -1 :

Si je commence à m'occuper de l'infini :
[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex]

On peut dire déjà que [tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} < \frac{t^\alpha}{t^3}[/tex]

Si [tex] \alpha <0[/tex] alors  [tex]\frac{t^\alpha}{t^3} = \frac{1}{t^{3+\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann : [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3+\alpha>1[/tex]
Donc [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha >-2[/tex]
Or on a dit [tex]\alpha<0[/tex] donc si [tex]\alpha[/tex] appartient [tex]]-2,0[[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] converge

Si [tex]\alpha >3[/tex] (l'idée que la puissance du numérateur domine sur celle du dénominateur)
alors [tex]\frac{t^\alpha}{t^3} \sim t^\alpha = \frac{1}{t^{-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann : [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{-\alpha}}dt[/tex] diverge
Donc si [tex]\alpha >3[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] diverge

Si [tex]0<=\alpha<=3[/tex] alors
[tex]\frac{t^\alpha}{t^3} \sim \frac{1}{t^3}[/tex]
Or d'après les intégrales références de Riemann :[tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^3}dt[/tex] converge
Donc [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3}dt[/tex] converge

Pour résumé en +infini:
si [tex]-2<\alpha<=3[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge

Dernière modification par DavidBe (13-05-2020 22:48:57)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Bonjour,
T''excuser ? faut pas. Des erreurs d'étourderies ? j'en fais aussi alors faut pas en faire un plat..
L'intégrale du 4) converge en effet lorsque $\alpha$ est compris entre deux valeurs, mais ce ne sont pas les bonnes ! En te lisant je vois que tu te prends les pieds dans le tapis en voulant trop bien faire ...

Je pose $f(t)=\frac {t^{\alpha}}{t^3+1}$ sans revenir sur l'étude de sa continuité. Tu ne vois pas bien une chose qui te fait faire une cascade d'erreurs : l'équivalent de $f$ en l'infini ne dépend pas du signe de $\alpha$. Pour t'en convaincre tu peux tester des valeurs simples  $\alpha=+2,+1,-1,-2..$

$\bullet$ converge de l'intégrale du 4) en l'infini :

Or d'après les intégrales références de Riemann : [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3+\alpha>1[/tex]
Donc [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}dt[/tex] converge ssi [tex]\alpha ...[/tex]

Sur le principe c'est çà. Tu t'es juste trompé sur $\alpha$ à cause d'une faute de signe. Le "ssi" ça veut dire 2 choses  :
Si [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}dt[/tex] converge alors [tex]\alpha ....[/tex] .
Et si [tex]\alpha ...[/tex] alors [tex]\int_{1}^{\infty }\frac{1}{t^{3+\alpha}}dt[/tex].

Et la tu peux conclure directement sur la convergence en l'infini seulement de l'intégrale du 4) !!
Conclusion : [tex]\int_{0}^{\infty }\ f(t) dt[/tex] converge en l'infini équivaut à [tex]\alpha...[/tex].. la borne inférieure est bien $0$ cette fois ci.

L'étude de la convergence en l'infini est terminée !
$\bullet$ converge de l'intégrale du 4) en en $0$ : Même schéma de démonstration..

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 10:42:43)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Bonjour !

Oui exacte en fait je me suis trompée dans l'intégrale.
[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] donc cela converge en l'infini ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha<2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en l'infini ssi [tex]\alpha <2[/tex]

En 0 :

[tex]\frac{t^\alpha}{t^3 +1} \sim \frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales de références de Riemann, [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] converge ssi [tex]3-\alpha<1[/tex] donc ssi [tex]\alpha > 2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en 0 ssi [tex]\alpha >2[/tex]

Dernière modification par DavidBe (14-05-2020 09:38:50)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

rebonjour !

[tex]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{3-\alpha}}[/tex] donc cela converge en l'infini ssi [tex]3-\alpha>1[/tex] donc [tex]\alpha<2[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}[/tex] converge en l'infini ssi [tex]\alpha <2[/tex]

Exact !

Ensuite ... à supposer que ta minoration de $\alpha$ soit bon, ta conclusion est bonne. De là tu peux embrayer sur la conclusion de la convergence de l'intégrale du 4) en 0.
Mais... tu te dis peut être que tu t'es trompé quelque part..
Pour rechercher ton équivalent en 0, tu peux examiner le dénominateur et te poser la question : y a t il un terme qui domine au dénominateur ? est ce que je peux en déduire un équivalent ?Quant au numérateur il équivaut à.. lui même ..
Sachant que l'équivalent de $f$ est le quotient des équivalents ...
Bref il faut se mettre dans la peau d'un chirurgien muni de son masque FFP2.

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 10:43:28)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

En fait oui dans ma tête je me suis pas dit que je faisais en 0..
D'accord si je réponds à vos questions pour trouver la minoration (la bonne) de[tex] \alpha[/tex] en 0 .
Le terme qui domine au dénominateur est [tex]t^3[/tex]. Alors je pense que je dois tromper en disant cela mais ici je cherche en 0 donc un équivalent de [tex]t^3[/tex] serait peut être 0...
Cela voudrait dire que le dénominateur équivaut à 1 et le numérateur à [tex]t^\alpha[/tex].
Donc un équivalent en 0 de [tex]\frac{t^\alpha}{t^3+1}[/tex] est [tex]{t^\alpha}=\frac{1}{t^{-\alpha}}[/tex]
Or d'après les intégrales de références de Riemann, [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{-\alpha}}dt[/tex] converge ssi [tex]-\alpha<1[/tex] donc ssi [tex] \alpha>-1[/tex]

Donc [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge en 0 ssi [tex]\alpha>-1[/tex]

On peut conclure par conséquent que [tex]\int_{0}^{\infty}\frac{t^\alpha}{t^3 +1}dt[/tex] converge ssi [tex]-1<\alpha<2[/tex]

Dernière modification par DavidBe (14-05-2020 11:04:09)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Tu y es..

Parfait  !

Cela voudrait dire que le dénominateur équivaut à 1 et le numérateur à [tex]t^\alpha[/tex].

Oui

Au sujet de l'équivalent de $t^3$ en 0, tu fais une bonne remarque parce qu'intuitivement on est en effet d'écrire $0$. Mais il faut en revenir ni plus ni moins à sa définition :
Un équivalent en un point $a$ (ou en $+\infty$, $-\infty$ ) d'une fonction $f$ est une fonction $g$ telle que $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$. Par conséquent tu peux voir que $0$ n'est pas un équivalent de $t^3$ en $0$.
Tu peux voir par contre en 0 : $t^3+1 \sim 1$ parce que là tu as bien : $ \lim_{t \to 0} \frac{t^3}{t^3+1} = 1$.
d'où en $0$ : $f(t) \sim t^{\alpha}$.
Et on peut vérifier  : comme $ \lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t^{\alpha}} = 1$,    $t^{\alpha}$ est bien un équivalent de $f$ en $0$.

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 11:57:57)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Re,

Un équivalent en un point $a$ (ou en $+\infty$, $-\infty$ ) d'une fonction $f$ est une fonction $g$ telle que $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Oui c'est exactement ce que je me suis dit dans ma tête !

D'accord j'ai beaucoup mieux compris comment on traitait la convergence des intégrales même si encore je n'arrive pas à prendre en compte tout et tout voir mais avec encore plus d'exercices j'espère y arriver. Ces intégrales n'étaient pas faciles pas rapport à d'autres que j'avais faites. C'est vrai que l'analyse faut penser à tout et c'est vrai qu'il faut aussi que je me pose les bonnes questions déjà savoir si je cherche le problème en 0 , +infini etc et après faire des équivalences en tenant compte de cela etc, utiliser les bonnes intégrales de références de Riemann...

Mais je voulais vous remercier pour votre implication, vos conseils, votre patience (beaucoup) et votre bienveillance. Et je sais pertinemment que j'ai progressé et que j'ai des bases plus fortes, merci !

Je voulais, juste si vous avez le temps et encore la patience finir par une convergence de série pour que je me rende compte de la différence entre étudier la convergence d'une intégrales et celle d'une série.
Si vous en avez envie je la pose : [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}
[/tex]

J'ai essayé dans dans mon livre d'en prendre une qui me semble pas très facile pour justement faire une "correspondance" avec les intégrales que nous avons traité.

Je commence:

Alors déjà contrairement aux intégrales, ici je cherche en l'infini.
Ce que je fais souvent pour discuter de la convergence d'une série, je commence par me demander si elle est absolument convergente et si elle est c'est gagné ! Ici je me doute aussi que la convergence et la convergence absolue va dépendre de [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex]

Convergence absolue:

[tex]|\frac{(-1)^k}{k^\alpha + 2k^\beta}| = \frac{|-1)^k|}{|k^\alpha + 2k^\beta|} = \frac{1}{|k^\alpha + 2k^\beta|}= \frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Dernière modification par DavidBe (14-05-2020 13:31:05)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Bon ap alors !

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Après je fais une équivalence en l'infini de [tex]\frac{1}{k^\alpha + 2k^\beta}[/tex]

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Tu peux aussi déjà comparer ce qu'on a fait avec des séries de référence de type [tex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^\alpha} [/tex]..

Ce que je fais souvent pour discuter de la convergence d'une série, je commence par me demander si elle est absolument convergente et si elle est c'est gagné !

En fonction de mon emploi du temps mais je ne promets rien. II peut être judicieux d'ouvrir une autre discussion, quitte à faire des copier coller..

Dernière modification par Zebulor (14-05-2020 13:32:45)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Je comprends tout à fait et je vous remercie encore pour votre aide.
Je vais essayer ce que vous dites.

J'ai ouvert une nouvelle discussion pour ce sujet