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Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

tu veux dire $\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt = \int_{0}^{1}\frac{sin(x)}{x}dx$ ? c'est a priori faux ... parce qu'entre les bornes 0 et 1 ces deux fonctions n'ont pas les mêmes valeurs...

En effet ces deux fonctions ne sont pas toujours positives sur le segment unité, donc le théorème d'équivalence ne peut pas s'appliquer ici..
La justification me semble basée sur : la continuité sur un intervalle borné et fermé, dont découle la majoration de f, d'où la convergence de l'intégrale $\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt$
Si tu as d'autres questions ...

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 20:54:10)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Excusez-moi pour les balises ...

En fait j'ai fait une équivalence alors que $\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt = \int_{0}^{1}\frac{sin(t)}{t}dt$ lorsque $t \to\; 0$
Par conséquent, j'ai compris et je peux appliquer la méthode !

Je vous remercie sincèrement ! Je vais essayer de retravailler les deux dernières qui restent.

Edit : Je voulais dire [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}=\frac{sin(t)}{t}[/tex] (Bien évidemment sans les dt j'avais juste supprimé les intégrales de ligne d'en haut en oubliant d’enlever les dt ...
Et comme  [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t)}{t}d[/tex]t converge alors [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] converge

Dernière modification par DavidBe (12-05-2020 11:25:04)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

En fait j'ai fait une équivalence alors que $\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt = \int_{0}^{1}\frac{sin(t)}{t}dt$ lorsque $t \to\; 0$

Non,  il n'y a pas égalité et la fin de phrase "lorsque $t \to\; 0$" ne veut rien dire

pour la 3) le numérateur de la fonction est fini en 0 et il y a du Riemann dans l'air.
En l'infini une étude est à faire aussi. Croissances comparées çà peut être une idée pour cette étude en l'infini

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 08:25:18)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

D'accord,
Si je m'occupe pour l'instant du problème en 0,
Lorsque x tend vers 0, [tex]\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Donc [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim  \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Or [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex] d'après les intégrales de Riemann elle diverge
Par conséquent je pense que j'ai mal utilisé le théorème d'équivalence ( à noter ici que toutes les fonctions de l'intégrales sont positives donc on peut appliquer ce théorème).

Dernière modification par DavidBe (11-05-2020 19:37:10)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

re,

D'accord,
Si je m'occupe pour l'instant du problème en 0,
Lorsque x tend vers 0, [tex]\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac{1}{\sqrt x}[/tex]

OK. A partir de là un constat : cet équivalent n'est valable qu'en 0, pas en 1 ni en l'infini
Est ce que çà ne permet pas d'étudier la convergence en 0 en comparaison avec la convergence en 0 de [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt x}[/tex] ?

Donc [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim  \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex]
Or [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex] d'après les intégrales de Riemann elle diverge
Par conséquent je pense que j'ai mal utilisé le théorème d'équivalence ( à noter ici que toutes les fonctions de l'intégrales sont positives donc on peut appliquer ce théorème).

Ce ne sont pas les intégrales qui sont équivalentes mais les fonctions en un point ou en l'infini.
On peut peut être appliquer ce théorème en effet mais ... pas de cette manière

Dernière modification par Zebulor (11-05-2020 21:21:41)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

En fait pour utiliser le théorème d'équivalence il faut que les fonctions soient contiunes et strictement positives sur ]0,+infini[? Ce qui est ici je pense le cas.
De plus il faut vérifier que [tex]\lim_{x->0}\frac{(1+x^2)e^-x}{\sqrt x}[/tex] * \sqrt x = 1 et on a bien que [tex]\lim_{x->0}{(1+x^2)e^{-x}}= 1[/tex]

Je ne vois vraiment pas le problème mais je vais encore chercher

Edit : Mais oui quel idiot ! J'utilise Riemann alors que je suis en 0 ! Excusz-moi je vais refaire

Dernière modification par DavidBe (11-05-2020 21:15:12)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Donc [tex]\int_{0}^{\infty }\frac{(1+x^2)\exp(-x)}{\sqrt x} \sim  \int_{0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt x}[/tex]

Cette écriture n'a pas de sens...Ci dessous un lien, pour savoir de quoi on parle sur les fonctions équivalentes.

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … andau.html

En l infini tu peux faire une études par croissances comparées. Je pense pas que le théorème d'équivalence est intéressant dans ce cas.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 08:20:06)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

En fait maintenant si je compare [tex] \int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)}[/tex]  avec [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)} = [2\sqrt x] = 2 < \infty[/tex]
Je vois bien que [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}[/tex]  converge en 0
Donc [tex]\int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)} < \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}[/tex]
Or cette dernière converge donc d'après le théorème de comparaison [tex] \int_{0}^{1}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)}[/tex] converge en 0

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Je vois bien que [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt(x)}dx[/tex]  converge en 0

ok. Stop . A partir de là tu peux conclure que l'intégrale du 3) converge en 0 par comparaison avec une intégrale de référence Riemann.
point final .

Dans la suite ton inégalité est peut être vraie mais dangereuse, et elle n'apporte rien de plus au raisonnement. De plus elle suppose une étude de fonctions.

Par ailleurs il se peut que ce soit le signe > et que la convergence soit tout de même vraie en 0 !! donc là tu prends des risques. Ton inégalité est seulement une condition suffisante de convergence.

Là c'est une comparaison avec l'intégrale de Riemann de type [tex]\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{a}}dx[/tex]

Dernière modification par Zebulor (15-05-2020 13:58:32)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

D'accord mais du coup je peux conclure par d'après le théorème d'équivalence l'intégrale converge en 0
Je fais en l'infini par croissance comparée, du oins je vais faire mon maximum

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Non en 0 il s'agit du critère de comparaison avec une intégrale de Riemann et pas du théorème d'équivalence.. Tu n'as pas le droit d'appliquer ce théorème d'équivalence en 0.

On s'occupe maintenant de [tex] \int_{1}^{+\infty}\frac{(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt(x)}[/tex] et de sa convergence en l'infini, puisqu'ailleurs il n'ya pas de point critique.
..et là le lien dont tu parlais avec les séries numériques revient avec les croissances comparées

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 08:41:26)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Oui exacte !

En +infini,

Lorsque x tend vers +infini, [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim exp(-x)[/tex]
Or [tex]\int_{1}^{\infty }exp(-x)= [-exp(-x)] = exp(1)[/tex] donc converge en +infini
Donc d'après le théorème d'équivalence [tex]\int_{1}^{\infty }\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x}[/tex] converge en +infini

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Y a de l'idée mais ton équivalent n'est pas bon :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … andau.html

tu écris :
Lorsque x tend vers +infini, [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim exp(-x)[/tex]

Regarde bien attentivement le lien . Que donne le quotient de fractions ? ceci [tex]\frac {(1+x^2)}{\sqrt x}[/tex].
Est ce que cette expression tend vers 0 en l'infini ?

Dernière modification par Zebulor (11-05-2020 21:51:18)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Effectivement, je me suis inspirée de http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … andau.html où j'ai vu que exp(x) dominait sur les autres mais dans notre cas c'est exp(-x) du coup c'est plus du tout pareil ...
Et donc (1+x^2) va dominer.
Je refais !

Edit, la limite en +infin du quotient = +infini

Dernière modification par DavidBe (11-05-2020 21:55:45)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Tu as juste besoin d'exploiter : $\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x}=o(\frac {1}{x^2})$ quand x tend vers l'infini.

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Tu as juste besoin d'exploiter : $\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x}=o(\frac {1}{x^2})$ quand x tend vers l'infini.

Je ne comprends pas ceci. Est-ce par DL ?
Je cherche encore

Dernière modification par DavidBe (11-05-2020 22:09:32)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Par DL non... c est une comparaison de deux fonctions de même signe en l infini. idée est qu'en l'infini la fonction que tu veux intégrer est très petite devant la quantité $\frac {1}{x^2}$. parce que l 'exponentielle ici la fait tendre "très puissamment" vers 0.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 09:09:38)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

MAis comment avez-vous eu l'idée de

qu'en l'infini la fonction que tu veux intégrer est très petite devant la quantité $\frac {1}{x^2}$.

Pourquoi pas [tex]\frac{1}{x}[/tex] parce que lorsque x tend vers +infini, elle tend vers 0 aussi

Dernière modification par DavidBe (12-05-2020 08:51:04)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Rebonjour,
je n'ai pas compris la fin de ton post #43.
Tu as plusieurs possibilités de prouver la convergence en l'infini :
1) en trouvant une primitive, ce qui permettrait aussi de calculer l'intégrale. Ici çà semble très compliqué.
2) par majoration d une fonction dont l'intégrale généralisée converge par calcul immédiat de primitive. C'est peut être faisable ici mais long.
Exemple : $\int_{1}^{+\infty} e^{-t^2} dt \le \int_{1}^{+\infty} e^{-t} dt$. Parce que pour $t \ge 1$, $e^{-t^2} \le e^{-t}$

3) par croissances comparées. Typiquement en majorant l'intégrande par $\frac{1}{x^2}$, parce qu'on connaît la nature de l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac {1}{t^2} dt$. C'est la solution la plus adéquate ici sachant que la fonction est positive.

PS: J'ai complété les post #26 et 28 au passage.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 09:11:35)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Merci d'avoir rectifié la fin ton post #43 qui devient lisible

Pourquoi pas [tex]\frac{1}{x}[/tex] parce que lorsque x tend vers +infini, elle tend vers 0 aussi

Parce que cette majoration est insuffisante. Certes elle tend vers 0, mais attention le fait qu'elle tende vers 0 n'est pas une condition suffisante de convergence, mais seulement une condition nécessaire.

De même que pour qu 'une série numérique à termes positifs $u_n$ soit convergente il ne suffit pas que son terme général tende vers 0. Exemple : la série harmonique.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 09:10:52)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Bonjour,

D'accord je comprends mieux.
Oui oui c'est vrai que si une intégrale converge vers 0 c'est nécessaire mais pas suffisant.
Quand vous dites "Parce que cette majoration est insuffisante." pour [tex]1/x[/tex] c'est parce qu'elle converge pas assez rapidement vers 0 par rapport à [tex]1/x^2[/tex] ?

De plus je ne comprends pas bien cette notation [tex]o(\frac {1}{x^2}[/tex]. En effet, pour moi quand on utilise o c'est pour les DL je n'ai pas encore vu ailleurs, mais ici on oublie les DL

Tu as juste besoin d'exploiter : $\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x}=o(\frac {1}{x^2})$ quand x tend vers l'infini.

Peut-on dire [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac {1}{x^2}[/tex]

PS: J'ai aussi fait un edit sur le post #27

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Je reprends ton post#27

Edit : Je voulais dire [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}dt=\frac{sin(t)}{t}dt[/tex]
Et comme  [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t)}{t}d[/tex]t converge alors [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] converge

Je ne veux pas te casser les pieds mais çà ne me paraît pas très clair.. on pourra y revenir si tu veux.

Pour le reste :
Tout à fait on peut parler de vitesse de convergence vers 0 ! Je t'invite à méditer sur cette intégrale : [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t}dt[/tex]
Les notations avec $o$ te gênent. ok. L'idée est d'exploiter : pour $t$ assez grand, $0 \le f(t) \le \frac{1}{t^2}$, où $f(t)$ est la fonction à intégrer. Et je t'invite à méditer sur cette autre intégrale (si ça te dit !) : [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt[/tex]

Peut-on dire [tex]\frac {(1+x^2)exp(-x)}{\sqrt x} \sim \frac {1}{x^2}[/tex]

En l'infini Non .

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 21:04:37)

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

Oui oui c'est vrai que si une intégrale converge vers 0 c'est nécessaire mais pas suffisant.

ce n'est pas l'intégrale qui converge vers 0. L'intégrale est soit divergente soit convergente et dans ce dernier cas elle prend une valeur quelconque réelle.
c'est la fonction qu'on intègre sur une intervalle donné qui tend vers 0 en l'infini...condition nécessaire mais non suffisante de convergence de l'intégrale...
Pour reprendre ton expression bien à propos : c'est la vitesse de convergence de la fonction vers 0 qui détermine la convergence ou non de l'intégrale de cette fonction :

Quand vous dites "Parce que cette majoration est insuffisante." pour [tex]1/x[/tex] c'est parce qu'elle converge pas assez rapidement vers 0 par rapport à [tex]1/x^2[/tex] ?

C'est çà

Dernière modification par Zebulor (12-05-2020 09:43:58)

DavidBe

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Re : Intégrale Impropre

Je reprends ton post#27

Edit : Je voulais dire [tex]\frac{sin(t^2)}{t^2}dt=\frac{sin(t)}{t}dt[/tex]
Et comme  [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t)}{t}d[/tex]t converge alors [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] converge

Je ne veux pas te casser les pieds mais çà ne me paraît pas très clair.. on pourra y revenir si tu veux.

Dans la première ligne il faut rajouter "lorsque t tend vers 0" on peut affirmer l'égalité

Pour le reste :
Tout à fait on peut parler de vitesse de convergence vers 0 ! Je t'invite à méditer sur cette intégrale : [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t}dt[/tex]
Les notations avec $o$ te gênent. ok. L'idée est d'exploiter : pour $t$ assez grand, $0 \le f(t) \le \frac{1}{t^2}$, où $f(t)$ est la fonction à intégrer. Et je t'invite à méditer sur cette autre intégrale (si ça te dit !) : [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt[/tex]

D'accord donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt =[- \frac{1}{x}] = 1[/tex] donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt[/tex] est convergente
Or  $0 \le f(t) \le \frac{1}{t^2}$ donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{(1+t)^2 * exp(-t)}{\sqrt t}dt[/tex] est convergente

Zebulor

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Re : Intégrale Impropre

D'accord donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt =[- \frac{1}{x}] = 1[/tex] donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt[/tex] est convergente
Or  $0 \le f(t) \le \frac{1}{t^2}$ donc [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{(1+t)^2 * exp(-t)}{\sqrt t}dt[/tex] est convergente

C'est çà. A noter que pour tout $t$ suffisamment grand seulement , $0 \le f(t) \le \frac{1}{t^2}$ est une condition seulement suffisante de convergence de [tex]\int_{1}^{+\infty}f(t)dt[/tex]

Par contre ceci : [tex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t}dt[/tex] diverge. Alors s'il existe une fonction $f$ telle que $0 \le f(t) \le \frac{1}{t}$ pour tout $t \ge 1$, tu ne peux rien conclure sur [tex]\int_{1}^{+\infty}f(t)dt[/tex]

$\frac{sin(t^2)}{t^2}dt=\frac{sin(t)}{t}dt$

je ne comprends pas cette écriture. En 0, $sin(t)$ est équivalent à $t$ d'où $\frac{sin(t)}{t}$ équivaut à 1.
De même en 0 : $sin(t^2)$ est équivalent à $t^2$, d'où $\frac{sin(t^2)}{t^2}$ équivaut à 1. Cette fonction est continue sur le fermé qu'est le segment unité (par prolongement par continuité en 0). Elle y est donc bornée. D'où la convergence de [tex]\int_{0}^{1}\frac{sin(t^2)}{t^2}dt[/tex] en 0. Conclusion l'intégrale converge. Intégrale faussement impropre...

Dernière modification par Zebulor (18-05-2020 14:44:38)