Forum de mathématiques - Bibm@th.net

babydol

Membre

Inscription : 04-01-2008

Messages : 8

complexes et triangle equilateral [Résolu]

bonjour et bonne année a tous!

J'ai un petit probleme pour un exo de math sur les complexes ....

Voici l'énoncé:
Ө est un réel donné.
1) Résolvez dans C l'équation (E): z² - 2sinӨz + 1 = 0
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O, vect u, vect v), A et B sont les points ayant pour affixe les solutions de l'équation de (E).
    Quelles sont les valeurs de Ө pour lesquelles le triangle OAB est équilatéral ?

Dès le début j'ai un souci.
Je n'arrive pas a résoudre cette équation, je suis perdue pour Δ car je ne sais pas quoi faire de ce sinus !!!

Si vous pouviez m'aider...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

Bonjour,

Bah, faut pas jeter le bébé avec l'eau du bain...
E si c'était z² - 2kz +1 = 0, ça ne t'embêterait plus ?
Et bien là le k c'est SinӨ c'est tout...
Comme dans le cas de ax²+bx+c=0, que ce soit z ou pas et non x, tu calcules ton Δ avec b²-4ac en prenant a = 1, b=-2SinӨ et c = 1...
Puis tu cherches tes deux racines en prenant la même chose pour a, b, c et la racine du Δ trouvé.

@+

babydol

Membre

Inscription : 04-01-2008

Messages : 8

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

Oui je sais bien tout cela

Mais je trouve Z1= sinӨ - √(sinӨ-1) √(sinӨ+1)  et Z2 son conjugué

Et je ne vois pas trop ou cela me mène...

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

Salut,

Mon discriminant à moi (t'a mangé un carré qq part) :
[tex](-2sin\theta)^2-4=4Sin^2\theta -4 = 4(Sin^2\theta-1)=-4Cos^2\theta = 4i^2Cos^2\theta[/tex]

D'accord ?

@+

babydol

Membre

Inscription : 04-01-2008

Messages : 8

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

Merci de ta réponse
Comment tu fais pour passer de  4(Sin²Ө-1)  à  -4 Cos²Ө ??

Donc après ça fait  Z1= SinӨ - iCosӨ   
                            Z2= SinӨ + iCosӨ   
C'est bien ça ?

Ensuite pour savoir pour quelle valeur de Ө OAB est équilatéral, est-ce qu'il faut calculez les modules de Z1 et Z2, puis les longueurs OA, AB, et OB
en faisant AB=|Za-Zb|  ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

Bonsoir,

Et la relation Sin²Ө+Cos²Ө=1, tu connais ? (prg de 3e). Après, je remplace -1 par i², mais ça tu l'avais deviné...

Pour la suite, on peut faire comme ça probablement (pas vérifié) mais je crains que tu fasses trop de calculs pour rien.
Le plus simple, c'est de montrer que OA = OB donc que déjà AOB est isocèle de sommet O (facile à faire !)
Ensuite, je chercherais [tex](\vec{OA},\vec{OB})[/tex] en fonction de Ө et j'écrirais que cette valeur vaut [tex]\pm{\pi \over 3}[/tex]...

@+

babydol

Membre

Inscription : 04-01-2008

Messages : 8

Re : complexes et triangle equilateral [Résolu]

merci beaucoup de ton aide !!
bonne soirée