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#1 22-04-2020 19:43:39

pierrep
Invité

Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ?

Bonjour

Je cherche a retrouver graphiquement que la diagonale est le plus court chemin entre 2 côtés opposés d'un trinagle rectangle

Je prend une feuille de papier petit carreau (5mm) je monte de 12 carreaux, je tourne à droite de 12 carreaux , chemin = 24 carreaux.

Maintenant je vais monter escalier de 4 carreaux, donc 3 marches de 4 carreaux en haut, 3 marches de 4 à droite, chemin = 24 carreaux

et si je fais des marches de 1 carreau, j'ai toujours 12 + 12 = 24 pour le chemin complet.

Je ne comprend pas mon erreur de raisonnement, avec des marches de 1 carreau, je m'approche du chemin en diagonale
et la distance devrait diminuer mais j'ai toujours 24.
Qui peut m expliquer ?

Merci par avance.

#2 23-04-2020 06:54:37

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ?

Bonjour,

Tu calcules en fait la distance de Manhattan séparant les extrémités de la diagonale, définie par la relation:

DAB = |xB - xA| + |yB - yA| ,

et qui représente la distance parcourue par les taxis dans les rues de New-York.

Cette grandeur est indépendante du chemin suivi tant que les variations des coordonnées (x, y) entre chaque changement de direction gardent toujours le même signe. Il s'ensuit que le parcours considéré reste à l'intérieur du rectangle de diagonale (AB), et que la distance calculée est minimale.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_de_Manhattan

https://mathworld.wolfram.com/TaxicabMetric.html

La distance de Manhattan n'est qu'un cas particulier des p-distances, définies par la relation:

DAB = ((xB - xA)p + (yB - yA)p)1/p .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_ … 9matiques)

Hors ligne

#3 23-04-2020 08:14:25

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 167

Re : Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ?

Bonjour,

Une autre "explication" à ce que tu obtiens : pour calculer la longueur d'une courbe (reliant par exemple les deux points de ton triangle) en essayant de l'approcher par des segments (c'est ce que tu fais en essayant d'approcher la diagonale par des escaliers), il ne faut pas seulement que tes escaliers se rapprochent de la diagonale, mais il faut aussi que les tangentes à ton escalier se rapprochent des tangentes à la diagonale. Et c'est ce point qui est faux... Pour calculer la longueur d'une courbe, tu as besoin de l'approcher de façon un peu plus fine que la façon dont tu le fait ici.

Roro.

Hors ligne

#4 07-05-2020 19:24:08

pierrep
Invité

Re : Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ?

Bonjour,
Merci à  vous 2 pour les réponses ci-dessus, je complète un peu tard, désolé.

J'ai donc appris qu'il y a la distance de Manhattan et la distance euclidienne pour la base de ce triangle
Mais je n'ai pas encore eu la compréhension 'graphique' ou intuitive,
bref c'est pas encore clair, Roro ci-dessus comprend mon problème mais me parle de 'plus fine', mais je ne vois pas.

Par exemple pour calculer graphiquement l'aire d'une surface en comptant le nombre de carreaux de la feuille, je comprends facilement
que plus la taille des carreaux diminue plus la précision du résultat (en nombre de carreaux entiers) est grande.

Quelqu'un peut il m'aider à comprendre cette différence entre les marches d'escalier infiniement petites (Manhattan) et la vrai diagonale (Euclidienne) ?

Merci par avance.

#5 08-05-2020 08:41:02

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 280

Re : Diagonale plus court chemin ? où est mon erreur svp ?

Bonjour,

Quelqu'un peut il m'aider à comprendre cette différence entre les marches d'escalier infiniement petites (Manhattan) et la vrai diagonale (Euclidienne) ?

Ton erreur est de croire que pour un petit triangle rectangle (ABC) de diagonale (AC) le rapport des distances d'Euclide (D) et de Manhattan (L) tend vers 1 lorsque la hauteur issue de (A) devient infiniment petite.
Je prend une feuille de papier petit carreau (5mm) je monte de 12 carreaux, je tourne à droite de 12 carreaux , chemin = 24 carreaux.
Pour reprendre ton exemple, et en plaçant le premier point (A°) à l'origine du repère:
les 3 sommets présentent les coordonnées: A°: (0, 0), B°: (0, 12), C°: (24, 12);
les côtés de l'angle droit, parallèles à l'un des axes du repère, sont séparés par des distances identiques, quelle que soit la définition utilisée:

DA°B° = ((y - y)2)1/2= |y - y| = LA°B° = 12 ;
DB°C° = ((y - y)2)1/2= |y - y| = LB°C° = 24 .

... et si je fais des marches de 1 carreau, j'ai toujours 12 + 12 = 24 pour le chemin complet.
Maintenant la ligne brisée joignant les deux derniers points (B°, C°) résulte d'une succession de 12 marches d'escalier impliquant les points intermédiaires (pour la plupart):

Mk = (2k, k) ; Mk + 1 = (2k + 2, k + 1) ; Nk = (24k + 2, 12k) ,

avec 0 ≤ k < 12 , M0 confondu avec A° et M12 avec B° .

Les points successifs (MkMk + 1) présents sur l'hypoténuse sont désormais séparés:
a) par la distance euclidienne Dk = D(MkMk + 1) = ((xk + 1 - x)2 + (yk + 1 - yk)2)1/2 = (22 + 12)1/2 = 51/2 ...
b) et par celle de Manhattan: Lk = L(MkMk + 1) = |xk + 1 - xk)| + |yk + 1 - yk| = 2 + 1 = 3 (somme des longueurs des deux petits côtés (MkNk, NkMk + 1), supérieure à la précédente;
d'où les distances totales, pour l'ensemble des 13 points alignés:
DAC = 12*51/2 et LAC = 12*3 .

Quel que soit le nombre d'étapes intermédiaires - et aussi petites que soient les marches - intervient un rapport constant entre les deux sortes de longueurs: Lk/Dk = L/D = 3/51/2 ,  supérieur à l'unité .

Dernière modification par Wiwaxia (08-05-2020 15:25:49)

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