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Ardus

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Fonctions holomorphes

Bonjour à tous,
j'espere que tout le monde va bien dans ces temps un peu difficiles.
Est-ce quelqu'un pourrait me donner un coup de main sur cet exercice?

1) Trouver les fonctions holomorphes $ f $ sur $C$ telles que $f(0) = 1 $ et

                 $\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}\leq 10$
    quand $ z \in C$

2) Soit f une fonction holomorphe sur le disque D(0,1) telle que
       
            $ f'(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})=0   , n\geq 1$

            $\lim\limits_ {n \to +\infty}f(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}) = 2$
Trouver $f(0)$.

3) Soit $f$ holomorphe au voisinage de $\overline{D(0,1)}$ telle que

   $ |1-f(z)|\leq|e^{z-1}|$

quand $ |z|=1$. Montrer que

           $ \frac{1}{2} \leq |f(0)| \leq \frac {3}{2}$

Je dois preciser que  on a etudiè une introdution à l'analyse complexe :
Conditions de Cauchy-Riemann; Sèries entières complexes; Formule integrale de Cauchy; Principe du maxumum; Théorème de Liouville
avec très peu d'exercices pour comprendre comment utiliser la théorie et je suis un peu perdu!!!
Pourriez-vous me donner quelques indications sur le théorème à utiliser
Merci d'avance pour votre aide et vos indications !!!!

Dernière modification par Ardus (26-04-2020 17:49:49)

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

Bonjour,

  Quelques pistes :
1. Tu peux commencer par démontrer que cette condition entraîne que la fonction $z\mapsto e^{f(z)}$ est une fonction holomorphe bornée.

2. J'imagine que tu as étudié aussi le théorème des zéros isolés (?). Dans ce cas, tu devrais en déduire assez vite quelque chose sur $f'$.

3. Applique le principe du maximum à $g(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$.

F.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

Merci beaucoup Fred!

2. Remarquons que $\frac{1}{2}$ est un point d'accumulation pour E={$1,\frac{1}{2},.......\frac{1}{n}$}.
On en dèduit pour le principe zéros isolés $f'$ est égale à 0 sur $D(0,1)$ donc $f$ est constante sur $D(0,1)$ et égale à 2.

3. Si j'applique le principe du maximum à $g(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$ je trouve Max$|g(z)|$ pour $|z|=1$.
Donc $\frac{|1-f(z)|}{|e^{z-1}|}\leq1$ sur $\overline{D(0,1)}$.
On obtient $1-e^{z-1}\leq f(z)\leq 1+e^{z-1}$ pour tout $z\in\overline{D(0,1)}$.... et là je crois que je ne suis pas sur la bonne route!

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

On obtient $1-e^{z-1}\leq f(z)\leq 1+e^{z-1}$ pour tout $z\in\overline{D(0,1)}$.... et là je crois que je ne suis pas sur la bonne route!

Là tu t'es un peu emballé... Tu as affaire à des nombres complexes, tu ne peux pas mettre des inégalités directement là-dessus,
il va te falloir mettre des modules. Mais sinon, je pense que c'est la bonne piste car $0\leq e^{-1}\leq 1/2$.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

3. Si j'applique le principe du maximum à $g(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$ je trouve Max$|g(z)|$ pour $|z|=1$.
Donc $\frac{|1-f(z)|}{|e^{z-1}|}\leq1$ sur $\overline{D(0,1)}$.
Remarquons que pour tout $z\in\overline{D(0,1)}$

$|f(z)|-1\leq |1-f(z)|\leq |e^{z-1}|$ donc pour $z=0,  |f(z)|\leq e^{-1}+1\leq \frac {3}{2}$

$1-|f(z)|\leq |1-f(z)|\leq |e^{z-1}|$ donc pour $z=0,  |f(z)|\geq 1-e^{-1}\geq \frac {1}{2}$

On en dèduit que pour z=0      $\frac{1}{2} \leq  |f(0)|  \leq \frac {3}{2}$

Maintenant je crois que c'est correct.
Merci Fred.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

1. Remarquons que la fonction holomorphe $g(z)=\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}$ est bornée sur C , donc pour le th. de Liouville $g$ est constante et  pour tout $z\in C$ 
$g(z)=\frac{1+e^2}{e}$
On en deduit que la fonction $f$ est bornée donc constante ,d'où:
$f(z)=1$ pour tout $z\in C$

Je ne suis pas trop sûr de mes arguments

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

1. Remarquons que la fonction holomorphe $g(z)=\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}$ est bornée sur C , donc pour le th. de Liouville $g$ est constante et  pour tout $z\in C$ 
$g(z)=\frac{1+e^2}{e}$
On en deduit que la fonction $f$ est bornée donc constante ,d'où:

Je ne comprends pas ta dernière ligne.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

1. Remarquons que la fonction holomorphe $g(z)=\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}$ est bornée sur C , donc pour le th. de Liouville $g$ est constante et  pour tout $z\in C$ 
$g(z)=\frac{1+e^2}{e}$
On en deduit que la fonction $f$ est bornée donc constante ,d'où:

Je ne comprends pas ta dernière ligne.

En effet je voulais dire que si pour tout $z\in C$
$g(z)=\frac{1+e^2}{e}$     alors       pour tout $z\in C$ on a $ f(z)=1$

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

En fait, j'ai mieux relu ton message. La fonction $g$ que tu définis dès le départ n'est pas holomorphe...

F.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

Bonjour,

  Quelques pistes :
1. Tu peux commencer par démontrer que cette condition entraîne que la fonction $z\mapsto e^{f(z)}$ est une fonction holomorphe bornée.

Je suis desolé Fred mais je n'y arrive pas.
La fonction $f$ est holomorphe sur C donc $ f$ est développable en série entière, on a  $ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ avec la condition $f(0)=1$ que implique $ a_0=1$
Et là je suis coincé ... Je ne comprende pas pourquoi $f$ est bornée.
Merci encore pour ton aide.

Dernière modification par Ardus (28-04-2020 16:23:50)

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

J'essaye d'une autre manière:

On sait que $|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}$ donc si posons $x=Re(f(z))$ on obtient
$\frac{1+e^{2x}}{e^x}\leq 10$ d'où $ e^{-x}+e^{x}\leq 10$
Enfin $coshx\leq5$
$x\leq arcosh(5)$ c.a.d. $Re(f(z))$ est bornèe.
Mais je ne vois pas où tout cela me mène.
Je crois que je vais  abandonner.

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

Non, n'abandonne pas tu y es presque.
Tu viens de démontrer que la fonction $\exp(f(z))$ est bornée, donc par le théorème de Liouville, elle est constante.
Tu dois ensuite en déduire que $f$ elle-même est constante. Connais-tu le théorème de l'image ouverte???

F.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

Merci encore Fred.

On a vu que $|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}\leq e^{arccosh(5)}$ , on en deduit que la fonction holomorpe $e^{f(z)}$ (composée de deux fonctions holomorphes) est bornèe et que pour le théorème de Liouville elle est constante:
$e^{f(z)}=e^{f(0)}=e$ pour tout $z\in C$, d'où
$f(z)=1 $ pour tout $z \in C$

Pourquoi j'ai besoin du théorème de l'image ouverte? Je ne comprends pas.

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

La fonction exponentielle n’est pas injective...

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

Merci.

$e^{f(z)}=e^{f(0)}=e$ pour tout $z\in C$

Donc on doit avoir :
$f(z)=1 + i2k\pi$ avec $k\in Z$ et pour tout $z\in C$ et on a la condition $f(0)=1$.
On en deduit que la fonction $f$ est constante avec $f(z)=1$ pour tout $z\in C$.....sinon, je ne sais pas quoi faire!

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

Attention ton k dépend de z. Pour être sûr qu’il est toujours égal à 0 il faut un argument supplémentaire par exemple le théorème de l’image ouverte (ou autre chose).

F.

Ardus

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Re : Fonctions holomorphes

$e^{f(z)}=e^{f(0)}=e$ pour tout $z\in C$

Donc on doit avoir :
$f(z)=1 + i2k\pi$ avec $k\in Z$ et pour tout $z\in C$ et on a la condition $f(0)=1$.
On en deduit que  $Re(f)$ est constante .
On sait que f est holomorphe sur C et que sa partie réelle est constante , on en deduit  pour le  théorème de l’image ouverte que f est également constante. En effet, sinon son image serait ouverte et non vide, or Im(f) est contenue dans une droite par hypothèse, ce qui n'est pas possible.
Pour conclure la fonction f est constante avec f(z)=1 pour tout z∈C.
Je pense que cette fois la solution est correcte.
Merci encore Fred, je n'y serais jamais arrivé sans ton précieux guide

Fred

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Re : Fonctions holomorphes

Cette fois je crois que c'est une réponse complète.