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kamilia

Invité

minorant d'une fonction

Salut, J'aimerai avoir votre aide, concernant ce sujet.
Si $f$ est une fonction definie par $f(x)=1-\sin(x)/x$ si $x \neq 0.$ Prouver que pour tout $\epsilon>0,$ il existe $\eta>0$ tel que pour tout $x>\epsilon,f(x) \geq \eta.$

Pouvez-vous me donner une piste pour commencer.

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : minorant d'une fonction

Bonjour,

  Il y a sans doute plusieurs preuves possibles. Quel chapitre es-tu en train d'étudier pour donner une réponse pertinente?

F.

kamilia

Invité

Re : minorant d'une fonction

Salut, on pourra utiliser n'importe quelle méthode, permettant d'expliciter $\eta.$
Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : minorant d'une fonction

Bonjour,

  Voici un plan d'attaque.

1. Montrer que, pour tout $x\in ]0,+\infty[$, $\sin x<x$. Pour cela, tu peux démontrer que la fonction $x\mapsto x-\sin x$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$.

2. En déduire qu'il existe $\eta_1>0$ tel que, pour tout $x\in [\epsilon,2]$, $1-\frac{\sin x}{x}\geq \eta_1$ (tu peux utiliser qu'une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes).

3. Démontrer qu'il existe $\eta_2>0$ tel que, pour tout $x\in [2,+\infty[$, $1-\frac{\sin x}x\geq \eta_2$ (c'est facile, on peut même trouver une valeur explicite simple pour $\eta_2$).

4. Conclure.

F.