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baptiste1618

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Dérivée d'une composée pour fonction à plusieurs variables

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre comment dériver une composition de fonction à plusieurs variables.
Par exemple dans un exercice nous avons du justifier les formules de dérivation. L'énoncé est le suivant :

Soit [tex]f[/tex] : R²->R,  [tex](x,y) → f(x,y)[/tex], une fonction de classe C² et soit la fonction [tex]g[/tex]: R² → R,
[tex](u, v) → g(u, v)[/tex], définie par :

[tex]g(u,v)= f (x(u,v) ,y(u,v) ) \,\text  où\ u=2x-y \, \text et\ v=x+3y [/tex]

Autrement dit :[tex] f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y))[/tex]
Justifiez les formules suivantes :

[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u} \times \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial v} \times \frac{\partial v}{\partial x}[/tex]

où [tex]f[/tex] et ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 sont évaluées en [tex](x,y)[/tex] et [tex]g[/tex] et ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 sont évaluées en [tex](u,v)=(2x-y,x+3y)[/tex]

L'énoncé demande aussi de vérifier la formule pour la dérivée partielle en  [tex]x[/tex] de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex], mais je n'arrive pas à l'écrire via LaTeX. Mais j'aimerais bien aussi une explication pour lcette formule, même si avant cela il faut que je comprenne la formule pour l'ordre 1...

On m'a déjà dit qu'il fallait faire comme pour des composées de fonction à une variable, c'est-à-dire la dérivée de l'intérieur multipliée par la dérivée de la fonction, mais je n'arrive pas à voir que la formule correspond à ça. J'ai aussi essayé de faire par l'intermédiaire des matrices jacobiennes, et avec ça je comprends, mais j'aimerais comprendre les formules. Pourriez-vous m'expliquer svp ?

Merci d'avance

Roro

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Re : Dérivée d'une composée pour fonction à plusieurs variables

Bonjour,

La formule écrite correctement est la suivante
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial g}{\partial u}(u(x,y),v(x,y)) \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial g}{\partial v}(u(x,y),v(x,y)) \frac{\partial v}{\partial x}(x,y).$$
Ecrire correctement les variables n'est pas un luxe (même si on trouve souvent la version comme tu l'as indiquée), surtout pour redériver une seconde fois.

Pour la démontrer, je ne vois pas d'autre façon que de revenir à la définition de la limite
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$$

Pour calculer la dérivée partielle seconde, il "suffit" de dériver la dérivée... c'est assez long à écrire mais il n'y a pas de difficulté. C'est d'ailleurs un bon exercice pour vérifier que tu as bien compris ces histoires de changement de variables.

Roro.

baptiste1618

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Re : Dérivée d'une composée pour fonction à plusieurs variables

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Mais je ne vois pas comment retrouver la formule de la dérivée partielle d'une composition de fonction à partir de la définition de la dérivée partielle. Pourriez-vous me dire comment commencer ?

Merci d'avance

Dernière modification par baptiste1618 (25-04-2020 15:16:56)

Roro

Membre expert

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Re : Dérivée d'une composée pour fonction à plusieurs variables

Bonjour,

L'objectif est de calculer
$$A = \frac{g(u(x+h,y),v(x+h,y)) - g(u(x,y),v(x,y))}{h}$$
et de voir comment ça se comporte quand $h$ tend vers $0$.

Par définition des dérivées, on sait que
$$u(x+h,y) = u(x,y)+h\partial_1u(x,y)+h \varepsilon_1(x,y,h)$$
$$v(x+h,y) = v(x,y)+h\partial_1v(x,y)+h \varepsilon_2(x,y,h)$$
$$g(u+\alpha,v+ \beta) = g(u,v)+\alpha \partial_1g(u,v)+\beta \partial_2g(u,v)+\alpha \varepsilon_3(u,v,\alpha)+\beta \varepsilon_4(u,v,\beta).$$
J'ai utilisé les mêmes notations $\varepsilon_i$ pour les quatre fonctions à droite. Le seul point qui nous intéresse est qu'elles tendent vers zéro lorsque le dernier argument (noté $h$, $\alpha$ ou $\beta$) tend vers $0$.

On a alors
$$A = \frac{1}{h} \Big( g(u(x,y)+h\partial_1u(x,y)+h \varepsilon_1(x,y,h) , v(x,y)+h\partial_1v(x,y)+h \varepsilon_2(x,y,h)) - g(u(x,y),v(x,y)) \Big)$$
$$A =\frac{\alpha}{h} \partial_1 g(u(x,y), v(x,y)) + \frac{\beta}{h} \partial_2 g(u(x,y), v(x,y)) + \frac{\alpha}{h} \varepsilon_3(u(x,y), v(x,y),\alpha)+\frac{\beta}{h}\varepsilon_4(u(x,y), v(x,y),\beta)$$
avec $\alpha = h\partial_1u(x,y)+h \varepsilon_1(x,y,h)$ et $\beta = h\partial_1v(x,y)+h \varepsilon_2(x,y,h)$.

En remarquant que $\lim_{h\to 0} (\alpha/h) = \partial_1u(x,y)$ et que $\lim_{h\to 0} (\beta/h) = \partial_2u(x,y)$, tu en déduis que
$$\lim_{h\to 0}\frac{A}{h} = \partial_1u(x,y) \partial_1 g(u(x,y), v(x,y)) + \partial_2u(x,y) \partial_2 g(u(x,y), v(x,y)).$$

Roro.

P.S. J'ai tapé vite, pas relu... il y a certainement des coquilles mais c'est une idée...

Dernière modification par Roro (25-04-2020 16:51:56)