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Meredith

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Trigonométrie

Bonjour, je travaille sur un devoir sur semaine à rendre avant la fin des vacances ( c'est-à-dire avant lundi 7/01!) et une question me pose problème.
Il s'agit de démontrer :
cos(a+b)cos(a-b)=cos(2a)-sin(2b)=cos(2b)-sin(2a)

J'ai bien sur essayer de développer la première expression, ce qui donne :
cos(a+b)cos(a-b)= (cos a*cos b - sin a*sin b)*(cos a*cos b + sin a*sin b)
                = (cos a*cos b)²-(sin a*sin b)²
                = cos²a*cos²b-sin²a*sin²b
                = (cos²a-sin²a)*[(cos²a*cos²b - sin²as*in²b)/(cos²a - sin²a)]
                = cos(2a)*[(cos²a*cos²b - sin²as*in²b)/(cos²a - sin²a)]

Le souci c'est que j'ai l'impression que ce n'est pas la bonne piste vu que je ne sais pas vraiment quoi faire de l'expression ainsi obtenue ! Aidez-moi s'il vous plaît !

Meredith

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Re : Trigonométrie

Alors personne n'a la moindre petite idée?

Edit@Galdinx : Ne sois pas si pressée ;la plupart d'entre nous sommes aussi en vacances et si on a une idée, on te la communiquera...

Dernière modification par galdinx (02-01-2008 13:34:44)

galdinx

Modo gentil

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Re : Trigonométrie

Bonjour,

Sans avoir essayé, quand je vois un exercice de ce style je me dis que si A=C et B=C alors A=B
De plus je me dis qu'il est toujours plus facile de décomposer que de diminuer les écritures composées.

Par conséquent, si j'étias toi, je développerais d'une part cos(a+b)cos(a-b) et d'autre part cos(2a)-sin(2b) et vérifierai ensuite que les formes développées sont égales (meme raisonnement pour la derniere égalité).

Si c'est pas clair ou si ca ne marche pas, fais signe...

Bon courage,

Galdinx

Meredith

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Re : Trigonométrie

Merci pour le conseil ! Mais je l'avais déjà testé et même en réessayant je n'arrive à rien de concluant : je vais continué à essayer de chercher sur cette piste, mais si quelqu'un a d'autres hypothèses ou des solutions (ça serait encore mieux !^^) pour ce problème elles seront les bienvenues !

jeff

Invité

Re : Trigonométrie

Bonjour,
je pense qu'il y a eu une erreur de frappe.En effet en calculant cos(a+b)cos(a-b) j'obtiens (cosa*cosb-sina*sinb)(cosa*cosb+sina*sinb)=cos²a*(1-sin²b)-(1-cos²a)*sin²b=cos²a-sin²b.
Ensuite cos²a-sin²b=1-sin²a-1+cos²b=cos²b-sin²a.
Et si cos²a-sin²b=cos2a-sin2b alors cela doit être vrai pour b=0 et a=pi/2.Or cos²(pi/2)=0 ,sin2b=sin²b=0 mais cos(2*pi/2)=cos(pi)=-1.Ainsi la relation doit être:
                             cos(a+b)cos(a-b)=cos²a-sin²b=cos²b-sin²a.

yoshi

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Re : Trigonométrie

Salut,

Moi j'arrive à [tex]Cos(a+b)Cos(a-b)={1 \over 2}\left(Cos2a + Cos2b\right)[/tex]
Et ça ce se fait avec très peu de calculs : 1 ligne...

D'autre part en ce qui concerne ta formule, qui devrait être vraie quels que soient a et b, si je prends a = pi/3 et b = pi/6, j'obtiens
[tex]Cos\left({\pi \over 3}+{\pi \over 6}\right)cos\left({\pi \over 3}-{\pi \over 6})=0[/tex]
Or,
[tex]Cos\left({\2\pi \over 3}\right)-Sin\left({\pi \over 3}\right) = \frac{-1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2} = \frac{-1-\sqrt 3}{2}[/tex]

Donc, à moins que je ne gaffe dans mon contre-exemple (et je ne vois pas où), ton énoncé me pose question...

@+

[EDIT]
Je vois que Jeff partage mes interrogations concernant la validité de l'énoncé. Et effectivement, la correction suggérée doit être la bonne : à partir de ce que j'ai trouvé ça se fait tout seul.

garfield

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Re : Trigonométrie

c'est trop chaud ton problème !
dsl !pour moi,pas d'idées!
jsp que quelqu'un pourra t'aider!
bonne chance,désespère pas!

yoshi

Modo Ferox

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Re : Trigonométrie

Bonsoir,

Mais non, ce n'est pas si chaud que ça... avec un énoncé correct.
Je suis maintenant sûr (à 99,9 %) que l'hypothèse de Jeff est la bonne.
Donc, je fais
[tex]Cos(a+b)Cos(a-b)={1 \over 2}\left(Cos(a+b+a-b)+Cos(a+b-a+b)\right)={1 \over 2}\left(Cos2a + Cos2b\right)[/tex]
Et là, on pose
[tex]Cos2a=2Cos^2a - 1\;et\;Cos2b=1-2Sin^2b[/tex]
On remplace :
[tex]{1 \over 2}\left(Cos2a + Cos2b\right)={1 \over 2}\left(2Cos^2a - 1+1-2Sin^2b\right)=Cos^2a-Sin^2b[/tex]
Et pour la deuxième forme, ça doit être évident maintenant.

@+

Meredith

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Re : Trigonométrie

Disons que si vous avez raison ça m'arrangerait: mais dans ce cas ça voudrait dire que la faute vient de mon prof (^^je ne sais pas 'il va apprécié qu'on lui dise qu'il a tort mais bon avec un ou deux contre-exemples j'espère que ça passera !)! En tout cas merci beaucoup de votre aide!

yoshi

Modo Ferox

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Re : Trigonométrie

Salut,

Je pense avoir un contre-exemple "général" et définitif...
Je pars de Cos 2a -Sin2b = Cos2b - Sin2a
Et j'écris
Cos2a-Cos2b = Sin2b-sin 2a
J'applique les formules permettant de tranformer les 1er et 2e membre en produits :
-2Sin((2a+2b)/2)Sin((2a-2b)/2) = 2Sin((2b-2a)/2)Cos((2a+2b)/2)
Soit :
-2Sin(a+b)Sin(a-b)=2Sin(b-a)Cos(a+b)
Et enfin, puisque Sin(b-a)=-Sin(a-b), et en posant a-b différent de zéro, je simplifie tout par -2Sin(a-b) :
Sin(a+b)=Cos(a+b)
Et ceci n'est vrai que pour a+b = pi/4  ou a+b=5pi/4, donc ce n'est pas toujours vrai...

@+

spoke

Invité

Re : Trigonométrie

yoshi dsl de te contredire mais ton contre exemple ne tien pas la route

cos (pi/3 +pi/6) x cos (pi/3 -pi/6 ) = 0

mais après il demande cos (a) -sin (b) et cos(b) -sin(a)

donc
cos (pi/3) - sin (pi/6)= 0
et l'autre lui aussi

spoke

Invité

Re : Trigonométrie

autant pour moi ^^

yoshi

Modo Ferox

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Re : Trigonométrie

Doublement !!! Parce que l'expression exacte est "Au temps pour moi !"... Si, si ! vérifie...
Tout le monde peut se tromper....