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Jane

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Convergence uniforme et critère de Cauchy

Bonjour,

Dans un exercice que je traite j'ai la série de fonction telle que hn(x)=x/(1+x^2)^n et je dois vérifier si elle converge uniformément sur R ou non. Pour cela dans une autre question j'ai calculé la somme de cette série et j'aimerai appliqué le critère de Cauchy, mais ne l'ayant jamais fait je ne sais pas comment je dois m'y prendre ni si je dois utilisé la majoration et si oui comment.
En attente d'une aide de votre part.

Cordialement.

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Bonjour,
chercher à appliquer un critère part d'une bonne intention. Mais avant tout est ce qu'il n'y aurait pas plusieurs écritures de la somme de cette série de fonctions suivant les valeurs de $x$ dans $R$ ..

Dernière modification par Zebulor (23-04-2020 08:54:35)

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Suivant si x=0 ou x=!0 ?

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Suivant $x=0$ ou non en effet

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Je ne vois pas comment faire pour prouver la convergence uniforme ou non dans ce cas..

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Qu'as tu trouvé comme somme :
- lorsque $x$ est nul
- lorsqu'il ne l'est pas

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Pour x différentes de 0 j'ai trouvé après simplification (1+x^2)/x et pour x=0 je suppose que.. c'est 0

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

C'est ça et pour 0 tu peux en être sure parce que tu peux mettre $x$ en facteur dans l'expression de $h_n(x)$ car il ne dépend pas de $n$.

Ensuite une méthode consiste à calculer le reste à l'ordre $n$ de la série de fonctions lorsque $x$ n'est pas nul. Tu peux regarder son Sup pour $x$ strictement positif et voir si la limite de ce Sup quand n tend vers l'infini est nul.
Si ce n'est pas 0, la convergence n est pas uniforme sur R.

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Pour calculer le reste il faut considérer que celui ci est la différence de Sn et de la somme de la série ?

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Oui c'est la somme des $h_p(x)$ pour p allant de $n+1$ à l'infini

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Est-ce que ce reste serait égale à x*1/(1+x^2)^(n+1)*(1+x^2)/x ?

Dernière modification par Jane (23-04-2020 09:58:35)

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

j'ai un peu de mal avec cette écriture hors Latex. Je pense que c'est un $x^2$ à la fin de ton expression juste avant le point d'interrogation.
Au final sauf erreur de ma part tu devrais trouver $R_n(x)=\frac{1}{x(1+x^2)^n}$

Dernière modification par Zebulor (23-04-2020 10:00:42)

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Désolé je n'ai jamais utilisé LaTex, mais je ne vois pas pourquoi ce serait un x^2 à la fin de mon expression..

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Ah si je viens de me rendre compte de mon erreur, c'était bien x^2

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Du coup je pense étudier cette fonction afin de trouver son sup et calculer sa limite

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Vu la tête du dénominateur du reste, tu peux aussi t'inspirer de la méthode qui consiste à chercher une suite $(x_n)$ qui tend vers 0, puis étudier $\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x_n)$..
Cette idée vient de ce que $\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac {1}{n})^n$ est connue, c'est le nombre $e$

Sur la méthode je te renvoie à ceci :
http://www.bibmath.net/formulaire/index … suiserfonc

dans le paragraphe sur les séries de fonctions  :
Comment prouver que la suite (fn) ne converge pas uniformément vers f sur I ?

En l'occurrence il s'agit ici montrer que la suite (et c'est bien la  suite cette fois) des restes $R_n(x_n)$ ne tend pas vers 0 dans $R^{+*}$ quand $n$ tend vers l'infini.

Dernière modification par Zebulor (24-04-2020 08:04:09)

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Si je prends la suite Xn=1/n on voit que Rn(Xn) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, donc il n'y a pas de convergence uniforme pour hn est-ce correct ?

Dernière modification par Jane (23-04-2020 12:29:39)

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

oui, et tu peux aussi prendre $x_n=\frac {1}{\sqrt {n}}$ pour retrouver quelque chose de la forme $(1+\frac {1}{n})^n$ au dénominateur du reste.
Il faut bien préciser le ou les ensemble(s) sur lequel(s) il n'y a pas convergence uniforme.
Pour répondre a ta question initiale tu peux en déduire qu'il n y a pas de convergence uniforme sur R de la série de fonctions initiale

Dernière modification par Zebulor (23-04-2020 13:33:03)

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

D'accord merci bien pour votre aide et votre temps en tout cas !

Zebulor

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Rebonjour,
je me doutais que j'aurais pu faire plus court.
Concernant les séries de fonctions : si chaque $h_n$ est continue et si la série de fonctions $\Sigma h_n$ converge uniformément sur I vers S, alors S est continue.

On prend la contraposée ici de la proposition précédente et on a ce résultat : la somme S de la série est discontinue en 0 (post #7) et chaque $h_n$ est continue sur R, ceci implique que $\Sigma h_n$ ne converge pas uniformément sur R vers S.

Dernière modification par Zebulor (24-04-2020 17:01:20)

Jane

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Re : Convergence uniforme et critère de Cauchy

Rebonjour !

Merci pour votre aide et pour cette nouvelle idée.