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Tmota

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Espace affine et action de groupes

Bonjour,

Je dois montrer qu'une application affine $f:\mathcal{E}\to\mathcal{E}'$ est surjective (resp. injective) ssi. son application linéaire $\phi:E\to E'$ l'est. Je fais un blocage sur la démonstration qui m'est proposée.

Je veux montrer le sens $[f surjective]\Rightarrow [\phi surjective]$.

La démonstration commence ainsi :

Fixons un point $w\in\mathcal{E}$.

Soit $v\in E'$ un vecteur.

Alors il existe un point $M'\in\mathcal{E}'$ tel que $\vec{f(w)M'}=v$.

Je bloque sur cette affirmation. Après, j'arrive à comprendre la démonstration !

Je sais que l'action à droite du groupe additif $(E,+)$ sur l'espace affine $\mathcal{E}$ est simplement transitive.

Dans le cas général, cela se traduit en disant que :

$\forall x\in X\,,\forall y\in X\,,\exists! g\in G\,:y=x.g$

Dans le cas présent, on a $X=\mathcal{E}'$ et $G=E'$.

Et cela signifie que :

Si $M$ et $N$ sont deux points de $\mathcal{E}'$ alors il existe un unique vecteur $v\in E'$ tel que $N=M+v$.

Mais je ne fais pas le lien avec ce qui est proposé dans la démontration.

Autre question, dans la définition d'une action simplement transitive. Puis-je permuter pour réécrire la définition ainsi :

$\forall x\in X\,,\forall g\in G\,,\exists y\in X\,:y=x.g$

Ou est-ce un raisonnement logique faux ?

Merci d'avance de votre aide !

Dernière modification par Tmota (20-04-2020 09:11:28)

Fred

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Re : Espace affine et action de groupes

Bonjour,

  Je crois que l'existence de $M'$ n'a rien à voir avec le fait que l'opération est simplement transitive :
tu dois juste poser $M'=f(w)+v$ (entre nous, cette notation $w$ est vraiment pourrie pour un point de $\mathcal E$...).

Concernant ton autre question, non, bien sûr, tu n'as pas le droit de jouer avec des quantificateurs comme cela!

F.

Tmota

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Re : Espace affine et action de groupes

Bonjour Fred,

je change les notations alors !

Je fixe un point $O\in\mathcal{E}$ et un vecteur $v\in E'$.

Pourquoi puis-je ainsi poser $M'=f(O)+v$ ? Je ne le vois pas. Je suis sur le chapitre qui traite d'espace affine et dès le début de ce chapitre on parle d'une action de groupes à droite, simplement transitive.

Raison pour laquelle j'ai utilisé cela. Je ne vois pas comment justifier l'existence de $M'\in\mathcal{E}'$ sinon.

Pour en revenir à ma question, plus précisément, la simple transitivité c'est :

$\forall x\in X\,,\forall y\in X\,,\exists !g\in G\,:y=x.g$ (à droite)

Imaginons maintenant que j'ai un $x\in X$ fixé, puis un $g\in G$ fixé aussi. Puis-je dire qu'alors il existe $y\in X$ telle que $y=x.g$ ?

Fred

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Re : Espace affine et action de groupes

Pourquoi tu ne pourrais pas poser $M'=f(O)+v$???
$f(O)$ est un élément de $\mathcal E'$ et $E'$ opère à droite sur $\mathcal E'$. Donc l'élément $f(O)+v$ est bien défini, et je l'appelle $M'$.

Ta deuxième question est du même ordre (et n'a rien à voir avec la simple transitivité). Oui, tu as toujours un élément $y\in X$ tel que $y=x.g$... c'est $x.g$ !!!!

C'est un petit peu comme si tu me demandais si, $x\in\mathbb R$ étant fixé, il y avait toujours un réel $y$ tel que $y=\exp(x)$.

F.