Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Groupe de permutations

Bonjour à tous,
J’ai un exercice d’algèbre linéaire sur les groupes de  permutation qui me pose un petit soucis et j’aimerais avoir un peu d’aide. Voici l’ennoncé:

a) faire la liste des éléments de S₃, le groupe de permutations de {1,2,3}, et donner pour chacun son inverse et sa signature.

b) A chaque élément sigma de S₃ on associe une matrice P^sigma de M₃ (R) définie par:
P_i,j^sigma = 1 si sigma (i) =j et P_i,j^sigma =0 sinon.

Etant donné deux nombres réels a et b, on définit les symbole de kron,ecker, kro_a,b par kro_a,b = 1 si a =b et kro_a,b = 0 si a différent de b. Exprimer P_i,j^sigma en utilisant ce symbole.

c) expliciter P_i,j^sigma pour chaque élément de sigma de S₃.

d) soit sigma1 et sigma2 deux éléments de S₃; calculer P_i,j^sigma1 P_i,j^sigma2. [indication : on posera P_i,j^sigma1 P_i,j^sigma2 = (m_h,k)_1<=h,k<=3 et on explicitera m_h,k en utilisant (b)]
Quel lien y a-t-il entre sigma1 o sigma2, P^sigma1 et P^sigma2 ?

e) Déduire de la question précédente que P^sigma est inversible, et quel est son inverse.

f)vérifier que pour chaque élément sigma de S₃ le déterminant de P^sigma est égal a la suite signature de sigma. Expliquer pourquoi.

En ce qui me concerne, j’ai fait la a) et je suis bloqué sur la b)

Voici le détail de la question a)

S₃ = {{pmatrix}1&2&3 \\ 1&2&3{pmatrix}, {pmatrix}1&2&3 \\ 2&1&3{pmatrix}, {pmatrix}1&2&3 \\ 1&3&2{pmatrix},  {pmatrix}1&2&3 \\ 3&2&1{pmatrix}, {pmatrix}1&2&3 \\ 2&3&1{pmatrix},  {pmatrix}1&2&3 \\ 3&1&2{pmatrix} }

Résumons le résultat sous le format :

Élément de S₃ | signature | inverse

Id        | +1 | Id
(1 2)    | -1  | (1 2)
(1 3)    | -1  | (1 3)
(2 3)    | -1  | (2 3)
(1 2 3) | +1 | (3 2 1) = (1 3 2)
(1 3 2) | +1 | (2 3 1) = (1 2 3)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Groupe de permutations

Bonjour,

  Pour le b, je pense que c'est juste une question de notation.

On doit avoir $P_{i,j}^{\sigma}=(\textrm{kro}_{\sigma(i),j})_{i,j=1,\dots,n}$.

Drôle de notation pour le symbole de K. : ça donne plutôt envie d'aller boire une bière!

F.

PS: Tiens, on ne peut pas écrire K.r.o.n.e.c.k.e.r sur ce forum, il pense que c'est du spam

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

Bonjour Fred,
Je l’ai noté ainsi car à cause du bon orthographe tout mon message était considéré comme un « spam » j’sais pas pourquoi mais en déformant l’orthographe, mon message a été validé

Concernant la b) ce qui me gêne c’est le fait qu’on a 6 éléments dans S₃ alors qu’on demande de créer une matrice 3x3, je vois pas trop ce que ça donnerait

Dernière modification par Bill (03-04-2020 15:48:11)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Groupe de permutations

Re,

C'est à cause de notre film anti-spam en langue anglaise : c'est le mot nec_k sans l'underscore qui figure dans la base...

@+

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

D’accord, merci Yoshi pour l’information

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Groupe de permutations

Re-

  Si par exemple $\sigma$ est le 3-cycle $(1\ 2\ 3)$, alors la matrice de la permutation associée est
$$P_\sigma=\left(\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0
\end{array}\right).$$
Chaque ligne comporte deux 0 et un 1. Le 1 est choisi sur la colonne $j$ tel que i est envoyé sur j.

F.

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

Merci Fred pour cette explication supplémentaire, je vois mieux.
Excellente soirée à toi

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

En résolvant le reste des questions, je vois pas trop l’argument correct pour justifier l’inversibilité de P^sigma de la question e) sachant qu’a la question, j’ai remarqué que sigma1 o sigma2 est égale à P^sigma1 P^sigma2

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Groupe de permutations

Quel est le produit de $P^{\sigma}$ et de $P^{\sigma^{-1}}$?

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

Leur produit donne la matrice identité

Bill

Membre

Inscription : 20-01-2020

Messages : 55

Re : Groupe de permutations

Je pensais qu’il avait justement une écriture particulière pour exprimer P^{sigma -1} en fonction de l’egalité de la question précédente et que ça aurait été sur base ça qu’on aurait justifié la question e)

Dernière modification par Bill (04-04-2020 16:47:11)