les dérivés 1erS [Résolu]

camille ba · 27-12-2007 17:53:27

bonjour
j'ai un exo de math sur le dérivés mais je bloque dessus

quelle est la longueur maximale de la planche AB pouvant franchir le virage
donner une valeur approchée à 1cm près

_________________________________________________ il s'agit d'un couloir L1= 150cm et L2=200cm
^
l L1
A_____________B v
______________________________
l
l
<_____L2 ____ >l
l

merci d'avance pour votre aide

Dernière modification par camille ba (27-12-2007 22:15:43)

cléopatre · 27-12-2007 18:33:56

Bonjour camille ba!

Voici un exercice type, faisant intervenir les dérivées dans un problème de distance maximale. Les livres de mathématiques en sont remplis.

Tout d'abord, lorsque l'on parle de dérivées, on parle probablement de fonction.
As tu une idée de la fonction "virage" à considérer?

Bises de Cléo

camille ba · 27-12-2007 19:07:29

Nn je c'est pas du tout comment faire

yoshi · 27-12-2007 20:17:15

Bonsoir Camille Ba,

Et Bienvenue sur BibM@th..
Si je puis me permettre d'intervenir...
Je voudrais prolonger la question de Cléopâtre (que je salue bien bas au passage) avec une question complémentaire : ton couloir et ton virage ressemblent-ils à ça ?

H ----------------------------------------------------
! L1 = 200 !
! !
! A_________________B !
! !
! O -------------------------------- !
! ! L2 = 150
! !
! !
! !

Ou bien la distance L2 est-elle celle (à l'"horizontale" sur mon dessin) entre le point O et Le mur ? Parce que, désolé, j'ai du mal à voir avec le tien...
Sinon, ta planche [AB] va toucher le point O, le point B appartiendra au mur supérieur, et le point A au mur perpendiculaire en H au précédent.
Il ne "reste plus qu'à" formuler (en bon français) la condition nécessaire et suffisante pour que la planche puisse prendre le virage, puis de la traduire algébriquement.
Le reste n'est plus alors qu'une question de technique...
Tu peux réaliser une maquette (en papier) de ce couloir, et faisant office de planche, plusieurs "bûchettes" (allumettes cure-dents...) : alors tente l'expérience...

@+

PS ; Vérifie bien de ne pas avoir oublié de données.

camille ba · 27-12-2007 22:14:34

L1 et L2 sont les largeur respectives des deux couloirs
j'ai fait le schémas et en mesurant je trouve que c'est entre 480 et 500 cm
mais je ne s'est pas comment le traduire avec une fonction

yoshi · 28-12-2007 16:02:41

Bonsoir,

Désolé, je n'ai pas ta fonction, mais j'y réfléchis...
En l'état, il me semble bien que cette longueur devrait être 500.
J'appelle H l'origine des coordonnées, l'axe horizontal celui des abscisses, et l'axe vertical celui des ordonnées.
Je place A tel que HA = 300 et B tel que HB = 400. Ce faisant le point O de ma figure est le milieu de [AB] et AB = 500 cm ce qui semble confirmer tes mesures...
Mais ce n'est pas une démonstration.

J'édite mon message...

Peux-tu poster ton sujet tel qu'on te l'a donné s'il te plaît ? Parce que je ne mets pas la main ni sur une fonction, ni sur une dérivée ou alors je n'en ai pas besoin.

En effet, je suppose une longueur k à la planche [AB]...
J'examine la courbe décrite par le point M milieu de [AB]. Ce point est tel que HM = AB/2 = k/2
Pour une longueur k donnée ce milieu M décrit donc un arc de cercle de centre H et de rayon k/2.

Avec A(0;y) et B(x;0), j'ai x²+y²=k² = 4HM²
HM² = (x²+y²)/4
Si je déplace A et B en obligeant
- AB à rester constante
- [AB] à passer par O
alors, l'une des positions de M est le point O et donc HM=250, d'où AB=500 et la longueur de cette planche est maximale puisque ses extrémités sont sur les murs.

Je n'ai pas mieux pour l'instant et j'en suis fort désolé...

@+

yoshi · 29-12-2007 10:44:52

Bonjour,

Apparemment, la longueur ne serait pas 500 cm tout rond. Une raison, ni suffisante, ni nécessaire est que l'exercice stipule que la réponse doit être donnée à 1 cm près.
Je refais un dessin :
B !
! \
! \ !
! \ !
! \ !
! \!I----------------------------------
! \
! \
--------------\-----------------------------------
O A

La planche ne tourne que si la longueur maximale lui permet de tourner autour de I, ses extrémités A et B restant sur les parois. En fait, cette longueur maximum cherchée sera le minimum de la fonction f.
Je vais tout d'abord écrire que les points A, I et B sont colinéaires (avec en mètres) A(a;0), B(0,b) et I(2;1,5)
J'ai donc :
[tex]\vec{AI}(2-a;1,5),\;\vec{IB}(-2;b-1,5)[/tex]

Maintenant, j'écris que les vecteurs sont colinéaires :
[tex]\frac{2-a}{-2}=\frac{1,5}{b-1,5}[/tex]
Ce qui me donne :
[tex](b-1,5)(2-a)=-3\\b(2-a)-3+1,5a=-3\\b(2-a)+1,5a=0\\b=\frac{1,5a}{a-2}[/tex]
Maintenant je vais écrire la fonction f exprimant les variations de la longueur en fonction de a :
[tex]f(a)=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+\frac{2,25a^2}{(a-2)^2}[/tex]

Maintenant cherchons la dérivée f'(a) : f(a) est du type racine (U), donc
[tex]f'(a)=\frac{U'}{2\sqrt U}\; avec\; U = a^2+\frac{2,25a^2}{(a-2)^2}[/tex]
Cherchons U'...
[tex]U'=2a+\left(\frac{2,25a^2}{(a-2)^2}\right)'[/tex]
La dérivée de 2,25a² est 4,5a, celle de (a-2)² est 2(a-2), d'où :
[tex]U'=2a+\frac{4,5a(a-2)^2-2(a-2)\times 2,25a^2}{(a-2)^4}[/tex]
Je simplifie par a-2, sur le domaine ]2 ; +oo[ :
[tex]U'=2a+\frac{4,5a(a-2)-2\times 2,25a^2}{(a-2)^3}[/tex]
Soit :
[tex]U'=2a+\frac{4,5a(a-2)-4,5a^2}{(a-2)^3}[/tex]
Finalement :
[tex]U'=2a+\frac{-9a}{(a-2)^3}[/tex]
Je reviens à f'(a) :
[tex]f'(a)=\frac{2a+\frac{-9a}{(a-2)^3}}{2\sqrt{a^2+\frac{2,25a^2}{(a-2)^2}}[/tex]
Cette dérivée est nulle si :
[tex]2a+\frac{-9a}{(a-2)^3}=0[/tex]
Ou encore si :
[tex]\frac{2a(a-2)^3-9a}{(a-2)^3}=0[/tex]
Et donc si :
[tex]2a(a-2)^3-9a=0\\a[2(a-2)^3-9]=0\\2(a-2)^3-9=0[/tex]
La résolution suivante n'est pas très réglo, mais sur ]2;+oo[; ça ne doit pas poser de pb :
[tex](a-2)^3=4,5\\a-2=\sqrt[3]{4,5}\\a=2+\sqrt[3]{4,5}\approx 3,65096[/tex]
ET :
[tex]f(a)\approx 4.93283....[/tex]
soit 4,93 m à 1 cm près

Voilà, si quelqu'un a plus simple, je suis preneur, parce que je trouve ce qui précède assez effroyable...

@+

Barbichu · 30-12-2007 03:24:28

Bonsoir,
Tout d'abord on peut légèrement abréger ta solution, yoshi, en considérant f(a) = a² + b² , au lieu de la racine carrée de cette quantité, car par croissance de la racine carré sur IR+, minimiser la racine carré de f revient à minimiser f.

Sinon je suggère une solution qui utilse les angles.
Je rappelle le schéma :

L2
<------->
! !
B ! !
! \ !
! \ !
! \ !
! \ !
! \!I-----------------------^---------
! \ | L1
! \ |
-------------\---------------------v-----------
O A

On note x l'angle orienté (BO,BA).
On a alors AI = L1 / cos x et BI = L2 / sin x

D'ou AB = f(x) = L1/cos x + L2/sin x
Puis f'(x) = ((L1 sin x)/ cos²x) - ((L2 cos x)/sin²x)
Et f'(x) = 0 <=> L1 sin³x = L2 cos³x <=> tan³x = L2/L1 <=> tan x = (L2/L1)^(1/3)
f' s'annule donc une et une seule fois sur ]0,pi/2[ et est négative puis positive (tester en 0 et pi/2).
D'où f admet un minimum en x0 sur ]0,pi/2[.

Notons t = tan x0, c = cos x0, s = sin x0
on sait que c² = 1/(1+t²) et s² = t²/(1+t²)
D'où toujours pour x = x0.
AB = L1 sqrt(1+t²) + L2 sqrt(1+t²) / t avec t = (L2/L1)^(1/3)
= L1 ( sqrt(1+t²) + t³ sqrt(1+t²)/t )
= L1 * (1+t²)sqrt(1+t²)
et [tex]\frac{AB}{L_1} = \left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}[/tex] ("c'est très vachy-buckingham" comme dirait mon ancien prof de physique de taupe)
ou encore [tex]AB = L_1 \left(1+\left(\frac{L_2}{L1}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}[/tex]
ou encore [tex]AB = \left(L_1^{\frac{2}{3}}+L_2^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}[/tex]

Rq : on peut admirer ici facilement
1/ la symétrie entre L1 et L2
2/ la cohérence dimensionnelle chère au physicien

Application numérique :
L1 = 2m, L2 = 1,5m
AB = 4,933m à 0.001m près

++

Dernière modification par Barbichu (30-12-2007 03:31:29)

yoshi · 30-12-2007 15:50:55

Bien Chef,

J'avoue que l'idée de travailler avec f plutôt que sa racine a été mon idée première...
Ce qui m'a arrêté c'est qu'il m'avait semblé qu'un minimum pour f, n'était pas forcément un minimum pour racine(f) !
j'avais pris un contre exemple avec x²-1 et (x²-1)² ...en oubliant que la racine du second n'était pas x²-1 mais |x²-1|

@+

camille ba · 30-12-2007 22:16:03

merci beaucoup de m'avoir aider car j'étais vrément perdu sur cet exercice

Dernière modification par camille ba (30-12-2007 22:18:15)

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